Escreva os primeiros termos da série sumn=0^infty (-1)^n4^n para mostrar como a série começa. Então, calcule a soma da série.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente escrever os primeiros termos da série para ver como ela começa. Depois, vamos calcular a soma dessa série. Isso tudo está relacionado ao estudo de séries infinitas, mais especificamente séries geométricas. Para resolver, vamos precisar entender como identificar os termos e aplicar a fórmula da soma de uma série geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever os primeiros termos da série. A série é dada por:
sumn=0^infty (-1)^n4^n
Vamos calcular os termos para (-1)^04^0 = 11 = 1 , (-1)^14^1 = -14 = -14 , (-1)^24^2 = 116 , e (-1)^34^3 = -164 :
  • Para 1, -14, 116, -164, ldots :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Então, os primeiros quatro termos da série são:

Passo 3

Agora, vamos calcular a soma dessa série infinita. Essa é uma série geométrica, que tem a forma geral:
sumn=0^infty ar^n
Onde sumn=0^infty (-14)^n é o primeiro termo e S = a1 - r é a razão da série. No nosso caso, podemos reescrever a série assim:
Aqui, (quando ) e .
A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
Mas atenção! Essa fórmula só funciona se a razão tiver um valor absoluto menor que 1 ( ), o que é o caso aqui, já que .

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula da soma:
S = a1 - r = 11 - (-14) = 11 + 14 = 154 = 45

Resposta

A soma da série é .

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