Escreva os primeiros termos da série
para mostrar como a série começa. Então, calcule a soma da série.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente escrever os primeiros termos da série
para ver como ela começa. Depois, vamos calcular a soma dessa série. Isso tudo está relacionado ao estudo de séries infinitas, mais especificamente séries geométricas. Para resolver, vamos precisar entender como identificar os termos e aplicar a fórmula da soma de uma série geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever os primeiros termos da série. A série é dada por:
Vamos calcular os termos para
,
,
, e
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Então, os primeiros quatro termos da série são:
Passo 3
Agora, vamos calcular a soma dessa série infinita. Essa é uma série geométrica, que tem a forma geral:
Onde
é o primeiro termo e
é a razão da série. No nosso caso, podemos reescrever a série assim:
Aqui,
(quando
) e
.
A fórmula para a soma
de uma série geométrica infinita é:
Mas atenção! Essa fórmula só funciona se a razão
tiver um valor absoluto menor que 1 (
), o que é o caso aqui, já que
.
Passo 4
Vamos aplicar a fórmula da soma:
Resposta
A soma da série
é
.