Após encontrar os pontos críticos da função f(x) = 18x + 3x² - 4x³ podemos afirmar que:
A - a função possui o máximo local quando x=7
B - a função possui o máximo local quando x=-1
C - a função possui o máximo local quando x=3/2
D - a função possui o mínimo local quando x=7
E - a função possui o mínimo local quando x=3/7

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para identificarmos qual das opções está correta em relação aos pontos críticos da função $ f(x) = 18x + 3x² - 4x³ $. Estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com a identificação de máximos e mínimos locais de uma função. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a primeira e a segunda derivada da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe. Esses pontos nos ajudam a identificar possíveis máximos ou mínimos locais.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada de $ f(x) $:
f(x) ²³²

Passo 4

Agora, igualamos a primeira derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
18 + 6x - 12x² = 0 ²
Simplificando:
-12x² + 6x + 18 = 0 ²
Dividindo todos os termos por -6:
2x² - x - 3 = 0 ²

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática $ 2x² - x - 3 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
2x² - x - 3 = 0 ²
Onde $ a = 2 $, $ b = -1 $, e $ c = -3 $:
x = -b pm raizb² - 4ac2a ²
a = 2
Então, temos duas soluções:
b = -1

Passo 6

Agora que temos os pontos críticos em $ x = \frac{3}{2} $ e $ x = -1 $, precisamos determinar se cada ponto é um máximo ou mínimo local. Para isso, usamos a segunda derivada.

Passo 7

Vamos calcular a segunda derivada de $ f(x) $:
f(x) ²

Passo 8

Agora, avaliaremos a segunda derivada em cada ponto crítico:
  • Para $ x = \frac{3}{2} $:
x = 32
Como $ f’’\left(\frac{3}{2}\right) < 0 $, temos um máximo local nesse ponto.
  • Para $ x = -1 $:
f''(32) = 6 - 24 times 32 = 6 - 36 = -30
Como $ f’’(-1) > 0 $, temos um mínimo local nesse ponto.

Resposta

A função possui o máximo local quando $ x = \frac{3}{2} $. Portanto, a opção correta é a C.

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