A interpretação geométrica da derivada é tal que, para uma função y = f(x), a sua derivada no ponto x = x0 corresponde à tangente do ângulo formado pela intersecção entre a reta e a curva da função y = f(x), isto é, o coeficiente angular da reta tangente à curva. Desse modo, considere a função f(x) = 3^(1 - x²). Assinale a alternativa que contém a equação da reta tangente à curva f(x) no ponto (0, 3). Escolha uma:

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x) = 3^{1 - x^2} $ e queremos encontrar a equação da reta tangente a essa curva no ponto $ (0, 3) $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e geometria analítica, especialmente como calcular a derivada para encontrar o coeficiente angular da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de $ f(x) $ em relação a $ x $. A derivada nos dá a taxa de variação da função e, nesse caso, o coeficiente angular da reta tangente.

Passo 3

A função é $ f(x) = 3^{1 - x^2} $. Para derivar uma função exponencial do tipo $ a^{g(x)} $, usamos a fórmula:
f(x) = 3^1 - x^2

Passo 4

Identificamos que $ a = 3 $ e $ g(x) = 1 - x^2 $. Agora, vamos derivar $ g(x) $:
a = 3

Passo 5

Aplicando a fórmula da derivada, temos:
f'(x) = 3^1 - x^2 cdot ln(3) cdot (-2x) = -2x ln(3) cdot 3^1 - x^2

Passo 6

Agora, vamos avaliar a derivada no ponto $ x = 0 $:
x = 0
Isso significa que o coeficiente angular da reta tangente no ponto $ (0, 3) $ é 0.

Passo 7

Sabendo que uma reta com coeficiente angular 0 é uma reta horizontal, e que ela passa pelo ponto $ (0, 3) $, a equação da reta tangente é:
(0, 3)

Resposta

A equação da reta tangente à curva $ f(x) = 3^{1 - x^2} $ no ponto $ (0, 3) $ é $ y = 3 $.

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