Após fazer um estudo, uma empresa verificou que a venda dos produtos denominados P1 e P2 dariam lucros de 50 e 60 reais por unidade, respectivamente. Para a produção de tais produtos são utilizados recursos como vidro, alumínio e acrílico. Para produzir uma unidade do produto P1 são necessários 2 m^2 de vidro, 2 m^2 de alumínio e 3 m^2 de acrílico. Para fabricar uma unidade do produto P 2 são necessários 3 m^2 de vidro, 1 m^2 de alumínio e 4 m^2 de acrílico. As disponibilidades de cada um dos recursos a serem usados na fabricação são de 180 m^2 de vidro, 120 m^2 de alumínio e 240 m^2 de acrílico. Uma pesquisa de mercado revelou que podem ser absorvidas, no máximo, 40 unidades de P2. Deste modo é necessário descobrir quais a quantidades de produtos P1 e P2 que devem ser produzidas buscando maximizar o lucro. Com base nas informações dadas faça:
b) Solução gráfica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de otimização onde uma empresa quer maximizar o lucro com a venda de dois produtos, P1 e P2. Cada produto utiliza certos recursos (vidro, alumínio e acrílico) e tem um lucro por unidade. Além disso, há uma limitação no número máximo de unidades de P2 que podem ser produzidas. Para resolver isso graficamente, vamos precisar dos conceitos de funções lineares e restrições. Vamos montar as equações das restrições e da função de lucro para encontrar as melhores quantidades de P1 e P2 a serem produzidas.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • Seja o número de unidades do produto P1 a serem produzidas.
  • Seja o número de unidades do produto P2 a serem produzidas.

Passo 3

Agora, vamos montar as funções que representam as restrições de recursos e a limitação do produto P2.
Recursos utilizados para P1 e P2:
  • Vidro: Cada P1 usa 2 m² e cada P2 usa 3 m². A disponibilidade total é de 180 m².
    2x + 3y <= 180
  • Alumínio: Cada P1 usa 2 m² e cada P2 usa 1 m². A disponibilidade total é de 120 m².
    2x + y <= 120
  • Acrílico: Cada P1 usa 3 m² e cada P2 usa 4 m². A disponibilidade total é de 240 m².
    3x + 4y <= 240
Limitação no produto P2:
  • Não podemos produzir mais do que 40 unidades de P2. y <= 40
Não negatividade:
  • Não faz sentido produzir uma quantidade negativa de produtos. x >= 0 y >= 0

Passo 4

A função que queremos maximizar é o lucro total, que é dado por:
Lucro = 50x + 60y
Aqui, é o lucro por unidade de P1 e por unidade de P2.

Passo 5

Agora, vamos plotar as restrições no gráfico para encontrar a região viável onde todas as condições são satisfeitas. Cada inequação representa uma área no gráfico, e a interseção dessas áreas forma a região onde podemos produzir as quantidades de P1 e P2 sem exceder os recursos disponíveis e as limitações impostas.

Passo 6

Vamos encontrar os pontos de interseção das restrições para identificar os vértices da região viável:
  1. Interseção de 2x + 3y = 180 2x + y = 120 e 2y = 60 Rightarrow y = 30 :
    • Resolvendo o sistema: 2x + 30 = 120 Rightarrow 2x = 90 Rightarrow x = 45
    • Subtraindo a segunda equação da primeira: 2x + 40 = 120 Rightarrow 2x = 80 Rightarrow x = 40
    • Substituindo 2x + 120 = 180 Rightarrow 2x = 60 Rightarrow x = 30 na segunda equação: 2x + 3y = 180 3x + 4y = 240
    • Ponto: 6x + 9y = 540 6x + 8y = 480
  2. Interseção de y = 60 e 2x + 180 = 180 Rightarrow 2x = 0 Rightarrow x = 0 :
    • Substituindo na segunda equação:
    • Ponto:
  3. Interseção de e :
    • Substituindo na primeira equação:
    • Ponto:
  4. Interseção de e :
    • Resolvendo o sistema:
    • Multiplicando a primeira equação por 3 e a segunda por 2 para eliminar :
    • Subtraindo a segunda equação da primeira:
    • Substituindo na primeira equação original:
    • Ponto:

Passo 7

Agora que temos os vértices da região viável: Lucro = 50(45) + 60(30) = 2250 + 1800 = 4050 reais , Lucro = 50(40) + 60(40) = 2000 + 2400 = 4400 reais , Lucro = 50(30) + 60(40) = 1500 + 2400 = 3900 reais e Lucro = 50(0) + 60(60) = 0 + 3600 = 3600 reais , vamos calcular o lucro em cada um desses pontos usando a função objetivo:
  1. Ponto :
  2. Ponto :
  3. Ponto :
  4. Ponto :

Resposta

A melhor estratégia para maximizar o lucro é produzir 40 unidades de P1 e 40 unidades de P2, resultando em um lucro total de R$ 4.400,00.

Exercícios relacionados