Dadas as matrizes A=(ccc1 & 2 & -1 0 & 3 & 1 2 & 1 & 0), B=(cc1 & 2 -2 & 1 2 & 4) e C=(ccc0 & 1 & 0 -2 & 1 & 2 3 & 2 & 2) calcule:
A^-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a inversa da matriz A. A gente vai usar conceitos de álgebra linear, como determinante, matriz de cofatores e adjunta. Então, pra achar A^-1, vamos precisar calcular o determinante de A, construir a matriz de cofatores, transpor essa matriz para obter a adjunta e, por fim, dividir a adjunta pelo determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz A. A matriz A é:
A = 1 & 2 & -1 0 & 3 & 1 2 & 1 & 0
O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
det(A) = 1 cdot 3 cdot 0 + 2 cdot 1 cdot 2 + (-1) cdot 0 cdot 1 - (-1) cdot 3 cdot 2 - 2 cdot 0 cdot 0 - 1 cdot 1 cdot 1
Simplificando:
det(A) = 0 + 4 + 0 - (-6) - 0 - 1 = 0 + 4 + 0 + 6 - 0 - 1 = 9
Então, det(A) = 9.

Passo 3

Agora, vamos construir a matriz de cofatores de A. Para isso, precisamos encontrar o menor complementar para cada elemento da matriz, que envolve calcular determinantes de submatrizes 2x2.
Vamos calcular cada cofator Cij:
  • C11: Menor de a11 é 3 & 1 1 & 0, então det = (3)(0) - (1)(1) = -1. Como (1+1) é par, C11 = -1.
  • C12: Menor de a12 é 0 & 1 2 & 0, então det = (0)(0) - (1)(2) = -2. Como (1+2) é ímpar, C12 = 2.
  • C13: Menor de a13 é 0 & 3 2 & 1, então det = (0)(1) - (3)(2) = -6. Como (1+3) é par, C13 = -6.
  • C21: Menor de a21 é 2 & -1 1 & 0, então det = (2)(0) - (-1)(1) = 1. Como (2+1) é ímpar, C21 = -1.
  • C22: Menor de a22 é 1 & -1 2 & 0, então det = (1)(0) - (-1)(2) = 2. Como (2+2) é par, C22 = 2.
  • C23: Menor de a23 é 1 & 2 2 & 1, então det = (1)(1) - (2)(2) = -3. Como (2+3) é ímpar, C23 = 3.
  • C31: Menor de a31 é 2 & -1 3 & 1, então det = (2)(1) - (-1)(3) = 5. Como (3+1) é par, C31 = 5.
  • C32: Menor de a32 é 1 & -1 0 & 1, então det = (1)(1) - (-1)(0) = 1. Como (3+2) é ímpar, C32 = -1.
  • C33: Menor de a33 é 1 & 2 0 & 3, então det = (1)(3) - (2)(0) = 3. Como (3+3) é par, C33 = 3.
Então, a matriz de cofatores é:
Cof(A) = -1 & 2 & -6 -1 & 2 & 3 5 & -1 & 3

Passo 4

Agora, vamos obter a adjunta de A, que é a transposta da matriz de cofatores:
Adj(A) = Cof(A)^T = -1 & -1 & 5 2 & 2 & -1 -6 & 3 & 3

Passo 5

Finalmente, para encontrar a inversa A^-1, vamos multiplicar a adjunta pelo inverso do determinante:
A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A) = 19 cdot -1 & -1 & 5 2 & 2 & -1 -6 & 3 & 3
Simplificando, temos:
A^-1 = -19 & -19 & 59 29 & 29 & -19 -23 & 13 & 13

Resposta

A inversa da matriz A é:
A^-1 = -19 & -19 & 59 29 & 29 & -19 -23 & 13 & 13

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