Após identificar a técnica apropriada, determine o valor das integrais abaixo.
integral arctan (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de arctan(x) em relação a x. Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente a técnica de integração por partes. Vamos precisar saber como aplicar essa técnica passo a passo para resolver a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a integração por partes. É uma técnica baseada na regra do produto para derivadas e é útil quando temos um produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, precisamos identificar as partes u e dv na nossa integral integral arctan(x) , dx.

Passo 3

Vamos escolher u = arctan(x). Então, precisamos derivar u para achar du:
u = arctan(x) du = 11 + x^2 , dx
Agora, o que sobra da integral será dv:
dv = dx v = integral dv = integral dx = x

Passo 4

Agora que temos u, du, v e dv, vamos aplicar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo:
integral arctan(x) , dx = arctan(x) cdot x - integral x cdot 11 + x^2 , dx

Passo 5

Vamos simplificar a segunda integral:
integral x1 + x^2 , dx
Observamos que o numerador é a derivada do denominador. Ou seja:
ddx(1 + x^2) = 2x
Então, podemos ajustar a integral para facilitar:
integral x1 + x^2 , dx = 12 integral 2x1 + x^2 , dx = 12 ln|1 + x^2| + C

Passo 6

Voltando à nossa expressão original:
integral arctan(x) , dx = x cdot arctan(x) - 12 ln(1 + x^2) + C

Resposta

Portanto, a integral de arctan(x) em relação a x é:
integral arctan(x) , dx = x cdot arctan(x) - 12 ln(1 + x^2) + C

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