Após identificar a técnica apropriada, determine o valor das integrais abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de em relação a . Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente a técnica de integração por partes. Vamos precisar saber como aplicar essa técnica passo a passo para resolver a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a integração por partes. É uma técnica baseada na regra do produto para derivadas e é útil quando temos um produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
Aqui, precisamos identificar as partes e na nossa integral .

Passo 3

Vamos escolher . Então, precisamos derivar para achar :
Agora, o que sobra da integral será :

Passo 4

Agora que temos , , e , vamos aplicar a fórmula da integração por partes:
Substituindo:

Passo 5

Vamos simplificar a segunda integral:
Observamos que o numerador é a derivada do denominador. Ou seja:
Então, podemos ajustar a integral para facilitar:

Passo 6

Voltando à nossa expressão original:

Resposta

Portanto, a integral de em relação a é:

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Calcule as integrais abaixo usando, antes da integração por partes, uma substituição apropriada.
Use integração por partes para calcular as integrais abaixo.
Após identificar a técnica apropriada, determine o valor das integrais abaixo.
Calcule as integrais abaixo usando, antes da integração por partes, uma substituição apropriada.