Após identificar a técnica apropriada, determine o valor das integrais abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de
em relação a
. Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente a técnica de integração por partes. Vamos precisar saber como aplicar essa técnica passo a passo para resolver a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a integração por partes. É uma técnica baseada na regra do produto para derivadas e é útil quando temos um produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
Aqui, precisamos identificar as partes
e
na nossa integral
.
Passo 3
Vamos escolher
. Então, precisamos derivar
para achar
:
Agora, o que sobra da integral será
:
Passo 4
Agora que temos
,
,
e
, vamos aplicar a fórmula da integração por partes:
Substituindo:
Passo 5
Vamos simplificar a segunda integral:
Observamos que o numerador é a derivada do denominador. Ou seja:
Então, podemos ajustar a integral para facilitar:
Passo 6
Voltando à nossa expressão original:
Resposta
Portanto, a integral de
em relação a
é:
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Calcule as integrais abaixo usando, antes da integração por partes, uma substituição apropriada.
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Após identificar a técnica apropriada, determine o valor das integrais abaixo.
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