Calcule as integrais abaixo usando, antes da integração por partes, uma substituição apropriada.
integral e^raizx d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse problema está na área de cálculo integral, mais especificamente envolvendo substituição e integração por partes. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão antes de aplicar a técnica de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar x = t^2 . Assim, podemos expressar dxdt = 2t Rightarrow dx = 2t , dt em termos de integral e^raizx , dx = integral e^t cdot 2t , dt = 2 integral t e^t , dt :
Agora, vamos calcular a derivada de em relação a para encontrar :
Substituindo e na integral original, temos:

Passo 3

Agora, precisamos resolver a integral integral u , dv = uv - integral v , du . Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
u = t Rightarrow du = dt
Vamos escolher:
dv = e^t , dt Rightarrow v = e^t
integral t e^t , dt = t e^t - integral e^t , dt = t e^t - e^t + C
Aplicando a fórmula de integração por partes:
onde é a constante de integração.

Passo 4

Voltando à nossa integral original, que após a substituição ficou:
2 integral t e^t , dt = 2 (t e^t - e^t) + C = 2 t e^t - 2 e^t + C
Agora, vamos substituir 2 raizx e^raizx - 2 e^raizx + C = 2 e^raizx (raizx - 1) + C de volta para :

Resposta

A integral 2 e^raizx ( raizx - 1 ) + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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