Use integração por partes para calcular as integrais abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando integração por partes. A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, especificamente a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. Para isso, precisamos identificar quais partes da nossa integral serão
e
.
Passo 2
Primeiro, escolhemos
e
. Geralmente, escolhemos
como a função que fica mais simples quando derivada, e
como o que resta.
Vamos escolher:
-
(pois sua derivada é simples) -
Passo 3
Agora, calculamos
e
.
Para encontrar
, integramos
:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos calcular
.
Sabemos que
, então:
Passo 6
Substituímos esse resultado de volta na equação anterior:
Simplificando:
Resposta
A integral
é igual a:
Exercícios relacionados
Use integração por partes para calcular as integrais abaixo.
Sejam
e
um constante. Temos as seguintes regras para calcular derivadas.
(a) Derivada da soma no ponto
:
(a) Derivada da soma
(b) Derivada da função
:
© Derivada do produto
no ponto
:
(d) Derivada do quociente
no ponto
:
Temos as seguintes derivadas das funções trigonométricas:
(a) se , temos
;
(b) se , temos
;
© se (exercício abaixo).
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…
(a) se
(b) se
© se
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…
Calcule as integrais abaixo usando, antes da integração por partes, uma substituição apropriada.
Após identificar a técnica apropriada, determine o valor das integrais abaixo.