Use integração por partes para calcular as integrais abaixo.
integral 4 x sec ^2(2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando integração por partes. A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, especificamente a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. Para isso, precisamos identificar quais partes da nossa integral serão e .

Passo 2

Primeiro, escolhemos e . Geralmente, escolhemos como a função que fica mais simples quando derivada, e como o que resta.
Vamos escolher:
  • (pois sua derivada é simples)

Passo 3

Agora, calculamos v = integral sec^2(2x) , dx e v = tan(2x)2 .
Para encontrar , integramos :
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral 4x sec^2(2x) , dx = 4x cdot tan(2x)2 - integral tan(2x)2 cdot 4 , dx
Simplificando:
= 2x tan(2x) - 2 integral tan(2x) , dx

Passo 5

Agora, precisamos calcular integral tan(2x) , dx = -ln|cos(2x)|2 + C .
Sabemos que , então:

Passo 6

Substituímos esse resultado de volta na equação anterior:
2x tan(2x) - 2 ( -ln|cos(2x)|2 ) + C
Simplificando:
2x tan(2x) + ln|cos(2x)| + C

Resposta

A integral 2x tan(2x) + ln|cos(2x)| + C é igual a:

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