Use integração por partes para calcular as integrais abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando integração por partes. A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, especificamente a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. Para isso, precisamos identificar quais partes da nossa integral serão e .

Passo 2

Primeiro, escolhemos e . Geralmente, escolhemos como a função que fica mais simples quando derivada, e como o que resta.
Vamos escolher:
  • (pois sua derivada é simples)

Passo 3

Agora, calculamos e .
Para encontrar , integramos :
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos calcular .
Sabemos que , então:

Passo 6

Substituímos esse resultado de volta na equação anterior:
Simplificando:

Resposta

A integral é igual a:

Exercícios relacionados

Use integração por partes para calcular as integrais abaixo.
Sejam e um constante. Temos as seguintes regras para calcular derivadas.
(a) Derivada da soma no ponto :
(b) Derivada da função :
© Derivada do produto no ponto :
(d) Derivada do quociente no ponto :
Temos as seguintes derivadas das funções trigonométricas:
(a) se , temos ;
(b) se , temos ;
© se (exercício abaixo).
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…
Calcule as integrais abaixo usando, antes da integração por partes, uma substituição apropriada.
Após identificar a técnica apropriada, determine o valor das integrais abaixo.