Calcule as integrais abaixo usando, antes da integração por partes, uma substituição apropriada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de Cálculo Integral, especificamente usando técnicas de substituição e integração por partes. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição adequada e depois aplicar a integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos escolher . Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :
Na integral original, temos , que podemos reescrever como . Sabendo que e que , substituímos na integral:

Passo 3

Agora, precisamos resolver a integral . Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
Vamos definir:
Aplicando a fórmula:
Então, nossa integral fica:

Passo 4

Finalmente, voltamos à variável original , lembrando que :

Resposta

A integral é igual a .

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Após identificar a técnica apropriada, determine o valor das integrais abaixo.
Após identificar a técnica apropriada, determine o valor das integrais abaixo.
Resolva o seguinte problema de valor inicial:
Calcule, se existir, o limite.