Calcule as integrais abaixo usando, antes da integração por partes, uma substituição apropriada.
integral x^3 e^x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de Cálculo Integral, especificamente usando técnicas de substituição e integração por partes. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição adequada e depois aplicar a integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos escolher du = 2x , dx Rightarrow du2 = x , dx . Agora, vamos derivar integral x^3 e^x^2 , dx = integral u cdot du2 cdot e^u = 12 integral u e^u , du em relação a para encontrar :
Na integral original, temos , que podemos reescrever como . Sabendo que e que , substituímos na integral:

Passo 3

Agora, precisamos resolver a integral integral u , dv = uv - integral v , du . Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
u = u Rightarrow du = du
Vamos definir:
dv = e^u , du Rightarrow v = e^u
integral u e^u , du = u e^u - integral e^u , du = u e^u - e^u + C
Aplicando a fórmula:
12 integral u e^u , du = 12 (u e^u - e^u) + C
Então, nossa integral fica:

Passo 4

Finalmente, voltamos à variável original 12 (x^2 e^x^2 - e^x^2) + C = 12 e^x^2 (x^2 - 1) + C , lembrando que :

Resposta

A integral é igual a .

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