Após um naufrágio, um sobrevivente se vê na situação de ter que atravessar um rio de águas calmas. Prudente, decide só atravessá-lo depois de ter estimado a largura do rio. Improvisou então uma trena métrica e um transferidor rústicos e, para calcular a distância entre duas árvores, digamos uma árvore A, situada na margem em que se encontrava, e uma árvore B, situada na margem oposta, procedeu da seguinte forma: - postando-se ao lado da árvore A e usando o transferidor construído, aferiu o ângulo entre a visada para a árvore B e para uma árvore C, situada na mesma margem em que se encontrava, obtendo o valor 105º; - caminhou até a árvore C e, usando a trena métrica, estimou em 300 metros a distância entre esta e a árvore A; - estando então junto à árvore C, mediu o ângulo entre as visadas para a árvore A e a árvore B, obtendo o valor 30º. Após os procedimentos descritos, as informações obtidas foram reunidas e foi estimada corretamente a distância entre a árvore A e a árvore B, obtendo o valor de, aproximadamente:
(A) 150 metros.
(B) 175 metros.
© 189 metros.
(D) 212 metros.
(E) 250 metros. (considerar 2 = 1,41 e 3 = 1,73
(A) 150 metros.
(B) 175 metros.
© 189 metros.
(D) 212 metros.
(E) 250 metros. (considerar 2 = 1,41 e 3 = 1,73
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sobrevivente que precisa atravessar um rio e quer saber a largura dele, ou seja, a distância entre duas árvores, A e B, em margens opostas. Para isso, ele usa uma trena métrica e um transferidor para medir alguns ângulos e distâncias. Nosso objetivo é calcular a distância entre as árvores A e B usando essas informações. Vamos precisar usar conceitos de trigonometria, especificamente o Teorema dos Senos.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar um diagrama para visualizar a situação. Imagine um triângulo formado pelas árvores A, B e C, onde:
- A é na margem inicial.
- B está na margem oposta.
- C está na mesma margem que A, a 300 metros de distância de A.
O sobrevivente mediu dois ângulos:
- Ao lado da árvore A, o ângulo entre a visão para B e C é de 105°.
- Ao lado da árvore C, o ângulo entre a visão para A e B é de 30°.
Passo 3
Agora, vamos identificar os ângulos internos do triângulo ABC. Sabemos que a soma dos ângulos de um triângulo é 180°. Já temos dois ângulos:
- Ângulo em A: 105°
- Ângulo em C: 30°
Para encontrar o ângulo em B, fazemos:
Passo 4
Com os três ângulos conhecidos, podemos aplicar o Teorema dos Senos, que relaciona os lados de um triângulo com os senos de seus ângulos. A fórmula é:
Onde:
- $ a $ é o lado oposto ao ângulo $ \alpha $
- $ b $ é o lado oposto ao ângulo $ \beta $
- $ c $ é o lado oposto ao ângulo $ \gamma $
Passo 5
Vamos atribuir os valores ao nosso triângulo ABC:
- $ \alpha = 30° $ (ângulo em C)
- $ \beta = 105° $ (ângulo em A)
- $ \gamma = 45° $ (ângulo em B)
- Lado AC (entre A e C) = 300 metros
Queremos encontrar o lado AB, que está oposto ao ângulo $ \gamma = 45° $.
Aplicando o Teorema dos Senos:
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores dos senos. Sabemos que:
E, conforme a instrução, consideramos:
Substituindo na equação:
Passo 7
Agora, vamos resolver para AB:
Resposta
A distância entre a árvore A e a árvore B é, aproximadamente, 212 metros.