Uma propriedade fundamental das matrizes ortogonais é que suas linhas e colunas são vetores unitários mutuamente ortogonais. Isso significa que cada coluna tem comprimento 1 e é perpendicular a todas as outras colunas. O mesmo vale para as linhas. Além disso, uma matriz ortogonal A tem como propriedade AAT=ATA=I, onde AT é a transposta de A e I é a matriz identidade. Considerando essas propriedades, avalie a seguinte matriz ortogonal F = raiz2/2 -raiz2/2 0 raizada/2 raiz2/2 0 0 0 1. Baseado(a) nas informações do texto-base, assinale a alternativa que indica corretamente a matriz inversa de F. Escolha uma:
a. F-1= raiz2/2 raiz2/2 0 raizada/2 raiz2/2 0 0 -1
b. F-1= raiz2/2 raiz2/2 0 raizada/2 raiz2/2 0 0 1
c. F-1= raiz2/2 raiz2/2 0 raizada/2 raiz2/2 -10 0 1
d. F-1= 1 0 0 0 1 0 0 0 1
e. F-1= raiz2/2 raiz2/2 0 -raizada/2 raiz2/2 0 0 1
a. F-1= raiz2/2 raiz2/2 0 raizada/2 raiz2/2 0 0 -1
b. F-1= raiz2/2 raiz2/2 0 raizada/2 raiz2/2 0 0 1
c. F-1= raiz2/2 raiz2/2 0 raizada/2 raiz2/2 -10 0 1
d. F-1= 1 0 0 0 1 0 0 0 1
e. F-1= raiz2/2 raiz2/2 0 -raizada/2 raiz2/2 0 0 1
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma matriz chamada $ F $ que é ortogonal. As matrizes ortogonais têm algumas propriedades bem legais: suas linhas e colunas são vetores unitários (ou seja, de comprimento 1) e são perpendiculares umas às outras. Além disso, para uma matriz ortogonal $ A $, a inversa dela é igual à sua transposta, ou seja, $ A^{-1} = A^T $. Nosso objetivo aqui é encontrar a matriz inversa de $ F $ entre as opções que foram dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma matriz transposta. A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas. Por exemplo, se tivermos uma matriz $ A $:
Sua transposta $ A^T $ será:
Passo 3
Agora, como $ F $ é uma matriz ortogonal, sabemos que sua inversa $ F^{-1} $ é igual à sua transposta $ F^T $. Então, vamos calcular a transposta de $ F $.
A matriz $ F $ é dada por:
Trocando linhas por colunas, temos:
Passo 4
Agora, vamos comparar $ F^T $ com as opções de resposta fornecidas para identificar qual delas corresponde à inversa de $ F $.
-
Opção a:
F^T Não corresponde a $ F^T $. -
Opção b:
F Não corresponde a $ F^T $ porque o sinal do segundo elemento da segunda linha está errado. -
Opção c:
F^-1 = raiz22 & raiz22 & 0 raiz22 & raiz22 & 0 0 & -1 & 0 Não corresponde a $ F^T $ e ainda tem um elemento estranho (-10). -
Opção d:
F^T Esta é a matriz identidade, mas $ F^{-1} $ não é a identidade. -
Opção e:
F^-1 = raiz22 & raiz22 & 0 raiz22 & raiz22 & 0 0 & 0 & 1 Esta corresponde exatamente a $ F^T $.
Resposta
A matriz inversa de $ F $ é a opção e.