Gás está sendo bombeado para um balão esférico à razão de 0,1 m³/min. Ache a taxa de variação do raio quando este é de 0,45 m.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve cálculo de taxas de variação. A gente tem um balão esférico sendo enchido com gás a uma taxa de 0,1 m³ por minuto. Nosso objetivo é descobrir a velocidade com que o raio do balão está aumentando quando o raio já mede 0,45 metros. Para isso, vamos precisar entender como a geometria da esfera se relaciona com o volume e como as taxas de variação se conectam através do cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do volume de uma esfera. A fórmula é:
Onde $ V $ é o volume e $ r $ é o raio da esfera.
Passo 3
Como queremos relacionar a taxa de variação do volume com a taxa de variação do raio, vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo $ t $. Isso nos dá:
Aqui, $ \frac{dV}{dt} $ representa a taxa de variação do volume e $ \frac{dr}{dt} $ a taxa de variação do raio.
Passo 4
Nosso objetivo é encontrar $ \frac{dr}{dt} $, então vamos isolar essa derivada na equação:
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores que já conhecemos. Sabemos que $ \frac{dV}{dt} = 0,1 , m^{3}/min $ e $ r = 0,45 , m $. Vamos colocar esses valores na equação:
Passo 6
Vamos calcular o denominador:
Passo 7
Agora, dividimos 0,1 por aproximadamente 2,55:
Resposta
A taxa de variação do raio quando ele é de 0,45 metros é aproximadamente $ 0,039 , m/min $.