Após um objeto ser retirado do forno, sua temperatura
variou ao longo do tempo
(em
) de acordo com a lei
. Ache a temperatura inicial do objeto e para qual valor ela converge após um tempo suficientemente longo.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função que descreve a temperatura
de um objeto ao longo do tempo
após ser retirado do forno. O conteúdo aqui envolve funções exponenciais e conceitos básicos de limites. Para resolver, vamos precisar calcular a temperatura inicial (quando
) e descobrir para qual valor a temperatura tende quando o tempo
fica muito grande.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a temperatura inicial do objeto, ou seja, quando
. A função dada é:
Substituindo
:
Sabemos que qualquer número elevado a 0 é 1, então:
Então, a temperatura inicial do objeto é 80°C.
Passo 3
Agora, vamos descobrir para qual valor a temperatura
converge quando o tempo
tende ao infinito (ou seja, quando o tempo fica muito, muito grande). Observamos a parte da função com a exponencial:
Quando
cresce,
se torna um número muito negativo, e
elevado a um número muito negativo tende a zero:
Então, a função
fica:
Portanto, a temperatura converge para 28°C após um tempo suficientemente longo.
Resposta
A temperatura inicial do objeto é
e ela converge para
após um tempo suficientemente longo.
Exercícios relacionados
Encontre o domínio de cada função:
(a)
(b)
© .
(a)
(b)
©
Mostre que o período das funções
e
é dado por
, sendo
e
. Em seguida, esboce o gráfico da função
sen
.
Onde a função
é contínua?
Use limites para provar que as seguintes desigualdades são válidas:
(a) para todo
suficientemente próximo de
exceto
).
(b) para todo
suficientemente grande.
(a)
(b)