Após um objeto ser retirado do forno, sua temperatura variou ao longo do tempo (em ) de acordo com a lei . Ache a temperatura inicial do objeto e para qual valor ela converge após um tempo suficientemente longo.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função que descreve a temperatura de um objeto ao longo do tempo após ser retirado do forno. O conteúdo aqui envolve funções exponenciais e conceitos básicos de limites. Para resolver, vamos precisar calcular a temperatura inicial (quando ) e descobrir para qual valor a temperatura tende quando o tempo fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a temperatura inicial do objeto, ou seja, quando . A função dada é:
Substituindo :
Sabemos que qualquer número elevado a 0 é 1, então:
Então, a temperatura inicial do objeto é 80°C.

Passo 3

Agora, vamos descobrir para qual valor a temperatura converge quando o tempo tende ao infinito (ou seja, quando o tempo fica muito, muito grande). Observamos a parte da função com a exponencial:
Quando cresce, se torna um número muito negativo, e elevado a um número muito negativo tende a zero:
Então, a função fica:
Portanto, a temperatura converge para 28°C após um tempo suficientemente longo.

Resposta

A temperatura inicial do objeto é e ela converge para após um tempo suficientemente longo.

Exercícios relacionados

Encontre o domínio de cada função:
(a)
(b)
© .
Mostre que o período das funções e é dado por , sendo e . Em seguida, esboce o gráfico da função sen .
Onde a função é contínua?
Use limites para provar que as seguintes desigualdades são válidas:
(a) para todo suficientemente próximo de exceto ).
(b) para todo suficientemente grande.