Mostre que o período das funções
e
é dado por
, sendo
e
. Em seguida, esboce o gráfico da função
sen
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que mostrar que o período das funções e
é
. Isso está relacionado ao estudo de funções trigonométricas e seus períodos. Depois, vamos esboçar o gráfico da função .
Passo 2
Vamos começar entendendo o que é o período de uma função trigonométrica. O período é o intervalo em que a função completa uma oscilação completa e começa a se repetir. Por exemplo, a função e
têm período
, porque após
a função começa a repetir seus valores.
Passo 3
Agora, consideremos a função . O fator
dentro do seno está relacionado à frequência da função. Quanto maior o valor de
, mais rápido a função oscila. Para encontrar o período
dessa função, usamos a fórmula do período para funções trigonométricas com coeficiente angular:
Passo 4
Vamos provar que essa fórmula funciona. Sabemos que completa uma oscilação quando o argumento
varia de 0 a
. Então, resolvemos:
Como estamos interessados apenas no valor positivo do período, consideramos
, então:
Passo 5
O mesmo raciocínio vale para a função
. A função cosseno também tem seu período determinado pelo coeficiente
de maneira semelhante:
Passo 6
Agora que mostramos que ambas as funções
e
têm período
, vamos aplicar isso à função específica . Aqui,
e
.
O período de será:
Passo 7
Para esboçar o gráfico de , vamos identificar alguns pontos importantes:
- Amplitude: O coeficiente de é 2, então a amplitude é 2. Isso significa que a função oscila 2 unidades acima e abaixo de sua linha central.
- Linha central: O termo constante é 3, então a linha central está em
. - Período: Já vimos que o período é
.
O gráfico será uma senoide deslocada para cima em 3 unidades, com amplitude 2 e completando uma oscilação a cada
unidades de
.
Resposta
O período das funções e
é
. Além disso, o gráfico da função é uma senoide deslocada verticalmente para cima por 3 unidades, com amplitude 2 e período
.
Gráfico
(Nota: Substitua o link da imagem pelo gráfico correspondente.)
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes equações:
(a)
(b)
©
(d) .
(a)
(b)
©
(d)
Calcule, se existir, o valor dos seguintes limites:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
Encontre o domínio de cada função:
(a)
(b)
© .
(a)
(b)
©
Após um objeto ser retirado do forno, sua temperatura
variou ao longo do tempo
(em
) de acordo com a lei
. Ache a temperatura inicial do objeto e para qual valor ela converge após um tempo suficientemente longo.