Mostre que o período das funções f(t) = A sen(B t) e g(t) = A cos(B t) é dado por T = 2*pi/|B|, sendo A in R e B != 0. Em seguida, esboce o gráfico da função h(t) = 3 + 2 sen 3 t.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que mostrar que o período das funções e é . Isso está relacionado ao estudo de funções trigonométricas e seus períodos. Depois, vamos esboçar o gráfico da função .

Passo 2

Vamos começar entendendo o que é o período de uma função trigonométrica. O período é o intervalo em que a função completa uma oscilação completa e começa a se repetir. Por exemplo, a função e têm período , porque após a função começa a repetir seus valores.

Passo 3

Agora, consideremos a função . O fator dentro do seno está relacionado à frequência da função. Quanto maior o valor de , mais rápido a função oscila. Para encontrar o período dessa função, usamos a fórmula do período para funções trigonométricas com coeficiente angular:

Passo 4

Vamos provar que essa fórmula funciona. Sabemos que completa uma oscilação quando o argumento varia de 0 a . Então, resolvemos:
Como estamos interessados apenas no valor positivo do período, consideramos , então:

Passo 5

O mesmo raciocínio vale para a função . A função cosseno também tem seu período determinado pelo coeficiente de maneira semelhante:

Passo 6

Agora que mostramos que ambas as funções e têm período , vamos aplicar isso à função específica . Aqui, e .
O período de será:

Passo 7

Para esboçar o gráfico de , vamos identificar alguns pontos importantes:
  • Amplitude: O coeficiente de é 2, então a amplitude é 2. Isso significa que a função oscila 2 unidades acima e abaixo de sua linha central.
  • Linha central: O termo constante é 3, então a linha central está em .
  • Período: Já vimos que o período é .
O gráfico será uma senoide deslocada para cima em 3 unidades, com amplitude 2 e completando uma oscilação a cada unidades de .

Resposta

O período das funções e é . Além disso, o gráfico da função é uma senoide deslocada verticalmente para cima por 3 unidades, com amplitude 2 e período .

Gráfico

Gráfico de h(t) = 3 + 2 sen(3t)
(Nota: Substitua o link da imagem pelo gráfico correspondente.)

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