Use limites para provar que as seguintes desigualdades são válidas:
(a) para todo suficientemente próximo de exceto ).
(b) para todo suficientemente grande.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas desigualdades para provar usando limites. No item (a), precisamos mostrar que quando está muito próximo de 1, mas diferente de 1. No item (b), temos que provar que quando é suficientemente grande. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites. Precisamos entender como as funções se comportam perto desses pontos específicos.

Passo 2

Vamos começar pelo item (a). Queremos analisar o limite de quando se aproxima de 1. Primeiro, substituímos na expressão:
Isso indica que o limite tende ao infinito, ou seja, a expressão cresce sem limites quando se aproxima de 1.

Passo 3

Como o limite é infinito, podemos afirmar que para valores de próximos de 1 (mas diferente de 1), a expressão será maior que qualquer número positivo fixo, incluindo 3700. Portanto, a desigualdade é válida para todo suficientemente pr��ximo de 1, exceto quando .

Passo 4

Agora, vamos para o item (b). Precisamos provar que para muito grande. Primeiro, vamos simplificar a expressão:
Quando tende ao infinito, o termo tende a 0, então a expressão inteira tende a 2.

Passo 5

Para garantir que esteja entre 1,95 e 2,1, precisamos encontrar valores de para os quais:
Subtraindo 2 de todos os lados:
Como é positivo e muito grande, podemos ignorar a parte negativa e focar na segunda desigualdade:

Passo 6

Portanto, para todo , a expressão estará entre 1,95 e 2,1. Isso significa que quando é suficientemente grande (maior que 750), a desigualdade é válida.

Resposta

(a) Para todo próximo de 1 (exceto ), .
(b) Para todo , .

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