Use limites para provar que as seguintes desigualdades são válidas:
(a)
para todo
suficientemente próximo de
exceto
).
(b)
para todo
suficientemente grande.
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas desigualdades para provar usando limites. No item (a), precisamos mostrar que
quando
está muito próximo de 1, mas diferente de 1. No item (b), temos que provar que
quando
é suficientemente grande. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites. Precisamos entender como as funções se comportam perto desses pontos específicos.
Passo 2
Vamos começar pelo item (a). Queremos analisar o limite de
quando
se aproxima de 1. Primeiro, substituímos
na expressão:
Isso indica que o limite tende ao infinito, ou seja, a expressão cresce sem limites quando
se aproxima de 1.
Passo 3
Como o limite é infinito, podemos afirmar que para valores de
próximos de 1 (mas diferente de 1), a expressão
será maior que qualquer número positivo fixo, incluindo 3700. Portanto, a desigualdade
é válida para todo
suficientemente pr��ximo de 1, exceto quando
.
Passo 4
Agora, vamos para o item (b). Precisamos provar que
para
muito grande. Primeiro, vamos simplificar a expressão:
Quando
tende ao infinito, o termo
tende a 0, então a expressão inteira tende a 2.
Passo 5
Para garantir que
esteja entre 1,95 e 2,1, precisamos encontrar valores de
para os quais:
Subtraindo 2 de todos os lados:
Como
é positivo e muito grande, podemos ignorar a parte negativa e focar na segunda desigualdade:
Passo 6
Portanto, para todo
, a expressão
estará entre 1,95 e 2,1. Isso significa que quando
é suficientemente grande (maior que 750), a desigualdade
é válida.
Resposta
(a) Para todo
próximo de 1 (exceto
),
.
(b) Para todo ,
.
(b) Para todo
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.
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.