Onde a função é contínua?

Passo 1

Entendendo o Enunciado e o Conteúdo Envolvido
Vamos analisar a função . O objetivo é determinar onde essa função é contínua.
Conteúdos que Vamos Precisar:
  • Continuidade de Funções: Saber quando uma função é contínua em um ponto ou em todo o seu domínio.
  • Funções Logarítmicas e Trigonométricas Inversas: Entender onde essas funções são definidas.
  • Análise de Domínio: Identificar valores de que podem causar problemas, como divisões por zero.

Passo 2

Analisando o Domínio da Função
Primeiro, vamos identificar para quais valores de a função está definida.
  • Função Logarítmica ( ): Definida apenas para .
  • Função Arctangente ( ): Definida para todos os números reais.
  • Denominador ( ): O denominador não pode ser zero, então e .
Conclusão do Domínio:
  • Interseção das Restrições: e .
  • Portanto, o domínio é e .

Passo 3

Identificando Pontos de Continuidade
Uma função é contínua em todos os pontos do seu domínio, desde que não haja interrupções, como divisões por zero ou valores indefinidos.
  • Funções Simples no Numerador:
    • é contínua para .
    • é contínua para todos os .
  • Denominador:
    • Já garantimos que e , mas como nosso domínio é , apenas é relevante.
Portanto, a função é contínua em todo o seu domínio, ou seja, para todos os exceto .

Resposta

A função é contínua para todos os valores de tais que e .

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Após um objeto ser retirado do forno, sua temperatura variou ao longo do tempo (em ) de acordo com a lei . Ache a temperatura inicial do objeto e para qual valor ela converge após um tempo suficientemente longo.
Encontre o domínio de cada função:
(a)
(b)
© .
Use limites para provar que as seguintes desigualdades são válidas:
(a) para todo suficientemente próximo de exceto ).
(b) para todo suficientemente grande.
Mostre que a equação sen possui solução no intervalo .