Onde a função
é contínua?
Passo 1
Entendendo o Enunciado e o Conteúdo Envolvido
Vamos analisar a função
. O objetivo é determinar onde essa função é contínua.
Conteúdos que Vamos Precisar:
- Continuidade de Funções: Saber quando uma função é contínua em um ponto ou em todo o seu domínio.
- Funções Logarítmicas e Trigonométricas Inversas: Entender onde essas funções são definidas.
- Análise de Domínio: Identificar valores de
que podem causar problemas, como divisões por zero.
Passo 2
Analisando o Domínio da Função
Primeiro, vamos identificar para quais valores de
a função está definida.
- Função Logarítmica (
): Definida apenas para . - Função Arctangente (
): Definida para todos os números reais. - Denominador (
): O denominador não pode ser zero, então → e .
Conclusão do Domínio:
- Interseção das Restrições:
e . - Portanto, o domínio é
e .
Passo 3
Identificando Pontos de Continuidade
Uma função é contínua em todos os pontos do seu domínio, desde que não haja interrupções, como divisões por zero ou valores indefinidos.
- Funções Simples no Numerador:
-
é contínua para . -
é contínua para todos os .
-
- Denominador:
- Já garantimos que
e , mas como nosso domínio é , apenas é relevante.
- Já garantimos que
Portanto, a função
é contínua em todo o seu domínio, ou seja, para todos os
exceto
.
Resposta
A função
é contínua para todos os valores de
tais que
e
.
Exercícios relacionados
Após um objeto ser retirado do forno, sua temperatura
variou ao longo do tempo
(em
) de acordo com a lei
. Ache a temperatura inicial do objeto e para qual valor ela converge após um tempo suficientemente longo.
Encontre o domínio de cada função:
(a)
(b)
© .
(a)
(b)
©
Use limites para provar que as seguintes desigualdades são válidas:
(a) para todo
suficientemente próximo de
exceto
).
(b) para todo
suficientemente grande.
(a)
(b)
Mostre que a equação sen
possui solução no intervalo
.