Uma circunferência de raio
tem seu centro
no primeiro quadrante do plano, ou seja, que
. Determine as condições sobre os números
e
de modo que a circunferência:
c) intersecte o eixo-y em exatamente um ponto;
c) intersecte o eixo-y em exatamente um ponto;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma circunferência com raio
e centro no ponto
, que está no primeiro quadrante, ou seja,
e
. Precisamos descobrir quais condições os números
,
e
devem satisfazer para que essa circunferência interseccione o eixo-y em exatamente um ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente a equação da circunferência e a ideia de interseção com eixos coordenados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma circunferência com centro em
e raio
é:
Queremos saber onde essa circunferência cruza o eixo-y. No eixo-y, o valor de
é sempre zero. Então, vamos substituir
na equação da circunferência para encontrar os pontos de interseção.
Passo 3
Substituindo
na equação da circunferência:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, queremos que essa equação tenha exatamente uma solução para
. Isso significa que a circunferência toca o eixo-y em apenas um ponto, ou seja, a interseção é tangente ao eixo-y. Para isso, a equação resultante deve ter exatamente uma solução real para
.
Passo 5
Vamos rearranjar a equação para resolver
:
Para que haja uma única solução, a expressão à direita deve ser igual a zero, porque se for positiva, teremos duas soluções (interseção em dois pontos), e se for negativa, não teremos interseção real.
Passo 6
Então, para ter exatamente um ponto de interseção, precisamos que:
Resolvendo para
:
Como
e
, descartamos a solução negativa.
Passo 7
Agora, como
, a condição para a circunferência interceptar o eixo-y em exatamente um ponto é que o centro da circunferência esteja a uma distância igual ao raio do eixo-y. Além disso, não há restrições adicionais para
, desde que o centro esteja no primeiro quadrante.
Resposta
As condições são que o centro esteja a uma distância igual ao raio do eixo-y, ou seja,
, com
e
. Portanto, para que a circunferência intercepte o eixo-y em exatamente um ponto, deve-se ter: