Uma circunferência de raio r>0 tem seu centro C=(x0, y0) no primeiro quadrante do plano, ou seja, que x0>0, y0>0. Determine as condições sobre os números x0, yo e r de modo que a circunferência:
c) intersecte o eixo-y em exatamente um ponto;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma circunferência com raio e centro no ponto , que está no primeiro quadrante, ou seja, e . Precisamos descobrir quais condições os números , e devem satisfazer para que essa circunferência interseccione o eixo-y em exatamente um ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente a equação da circunferência e a ideia de interseção com eixos coordenados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma circunferência com centro em (x - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2 e raio é:
Queremos saber onde essa circunferência cruza o eixo-y. No eixo-y, o valor de é sempre zero. Então, vamos substituir na equação da circunferência para encontrar os pontos de interseção.

Passo 3

Substituindo (0 - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2 na equação da circunferência:
x0^2 + (y - y0)^2 = r^2
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, queremos que essa equação tenha exatamente uma solução para . Isso significa que a circunferência toca o eixo-y em apenas um ponto, ou seja, a interseção é tangente ao eixo-y. Para isso, a equação resultante deve ter exatamente uma solução real para .

Passo 5

Vamos rearranjar a equação para resolver (y - y0)^2 = r^2 - x0^2 :
Para que haja uma única solução, a expressão à direita deve ser igual a zero, porque se for positiva, teremos duas soluções (interseção em dois pontos), e se for negativa, não teremos interseção real.

Passo 6

Então, para ter exatamente um ponto de interseção, precisamos que:
r^2 - x0^2 = 0
Resolvendo para x0^2 = r^2 implies x0 = r :
Como e , descartamos a solução negativa.

Passo 7

Agora, como , a condição para a circunferência interceptar o eixo-y em exatamente um ponto é que o centro da circunferência esteja a uma distância igual ao raio do eixo-y. Além disso, não há restrições adicionais para , desde que o centro esteja no primeiro quadrante.

Resposta

As condições são que o centro esteja a uma distância igual ao raio do eixo-y, ou seja, x0 = r , com e . Portanto, para que a circunferência intercepte o eixo-y em exatamente um ponto, deve-se ter:

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