Após verificar que
é solução da equação diferencial
para
, determine uma segunda solução
, linearmente independente da primeira.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão nos pede. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
Sabemos que uma solução dessa equação é:
Nosso objetivo é encontrar uma segunda solução,
, que seja linearmente independente de
. Para isso, vamos usar o método da redução de ordem, que é útil quando já conhecemos uma solução da equação diferencial.
Passo 2
O método da redução de ordem nos sugere assumir que a segunda solução
pode ser expressa como:
onde
é uma função que precisamos determinar. Nosso objetivo agora é encontrar
.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular as derivadas de
. Usando a regra do produto:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Simplificando, percebemos que
satisfaz a equação diferencial, então muitos termos se cancelam, deixando uma equação para
.
Passo 5
Após simplificar, a equação resultante para
é:
Podemos dividir ambos os lados por
:
Passo 6
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Seja:
Então, a equação se torna:
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem para
.
Passo 7
Resolveremos a equação para
usando um fator integrante. A equação tem a forma:
onde:
O fator integrante
é dado por:
Passo 8
Calculamos
:
Primeiro, derivamos
:
Então:
Portanto:
Passo 9
Agora, o fator integrante é:
Multiplicamos a equação diferencial de
por
:
Isso nos permite escrever a equação como:
Passo 10
Integrando ambos os lados:
onde
é uma constante de integração. Portanto:
Recall que
, então:
Passo 11
Integrando novamente para encontrar
:
onde
é outra constante de integração. Para simplificar, podemos considerar
, pois a solução homogênea já está incluída em
.
Passo 12
Agora, temos:
Portanto, a segunda solução é:
Podemos absorver a constante
na solução, escrevendo:
Resposta
A segunda solução linearmente independente é:
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Expresse a quantidade dada com um único logaritmo
(b)
(b)
Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.
Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
, para
.
Determine f e g , dado que
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