Após verificar que
é solução da equação diferencial
para , determine uma segunda solução , linearmente independente da primeira.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão nos pede. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
Sabemos que uma solução dessa equação é:
Nosso objetivo é encontrar uma segunda solução, , que seja linearmente independente de . Para isso, vamos usar o método da redução de ordem, que é útil quando já conhecemos uma solução da equação diferencial.

Passo 2

O método da redução de ordem nos sugere assumir que a segunda solução pode ser expressa como:
onde é uma função que precisamos determinar. Nosso objetivo agora é encontrar .

Passo 3

Primeiro, vamos calcular as derivadas de . Usando a regra do produto:

Passo 4

Substituímos , e na equação diferencial original:
Simplificando, percebemos que satisfaz a equação diferencial, então muitos termos se cancelam, deixando uma equação para .

Passo 5

Após simplificar, a equação resultante para é:
Podemos dividir ambos os lados por :

Passo 6

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Seja:
Então, a equação se torna:
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem para .

Passo 7

Resolveremos a equação para usando um fator integrante. A equação tem a forma:
onde:
O fator integrante é dado por:

Passo 8

Calculamos :
Primeiro, derivamos :
Então:
Portanto:

Passo 9

Agora, o fator integrante é:
Multiplicamos a equação diferencial de por :
Isso nos permite escrever a equação como:

Passo 10

Integrando ambos os lados:
onde é uma constante de integração. Portanto:
Recall que , então:

Passo 11

Integrando novamente para encontrar :
onde é outra constante de integração. Para simplificar, podemos considerar , pois a solução homogênea já está incluída em .

Passo 12

Agora, temos:
Portanto, a segunda solução é:
Podemos absorver a constante na solução, escrevendo:

Resposta

A segunda solução linearmente independente é:

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