Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de indução matemática juntos! O enunciado pede para mostrarmos que
para todo
. Isso envolve o conceito de indução matemática, que é uma técnica usada para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um certo ponto. Para resolver isso, vamos precisar:
- Caso Base: Verificar se a afirmação é verdadeira para o menor valor de
, que aqui é 5. - Passo Indutivo: Assumir que a afirmação é verdadeira para
e, então, mostrar que ela também é verdadeira para .
Passo 2
Primeiro, vamos conferir o caso base, ou seja, quando
.
Calculando ambos os lados da desigualdade:
Então,
Isso confirma que a afirmação
é verdadeira para
. Ótimo, o caso base está validado!
Passo 3
Agora, vamos ao passo indutivo. Aqui, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum inteiro
, ou seja:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução. Nosso objetivo é usar essa hipótese para provar que a afirmação também vale para
, ou seja, mostrar que:
Passo 4
Vamos trabalhar na expressão
:
Pela hipótese de indução, sabemos que
, então podemos substituir:
Agora, precisamos mostrar que
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Vamos resolver a inequação quadrática
. Encontramos as raízes da equação
usando a fórmula de Bhaskara:
As raízes são aproximadamente
e
. Como
, a inequação
é verdadeira para
. Portanto, para
, temos:
Assim, mostramos que se
, então
.
Resposta
Portanto, por indução matemática, a desigualdade
é verdadeira para todo
.
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para
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