Usando indução, mostre as seguintes afirmações: para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de indução matemática juntos! O enunciado pede para mostrarmos que para todo . Isso envolve o conceito de indução matemática, que é uma técnica usada para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um certo ponto. Para resolver isso, vamos precisar:
  1. Caso Base: Verificar se a afirmação é verdadeira para o menor valor de , que aqui é 5.
  2. Passo Indutivo: Assumir que a afirmação é verdadeira para e, então, mostrar que ela também é verdadeira para .

Passo 2

Primeiro, vamos conferir o caso base, ou seja, quando .
Calculando ambos os lados da desigualdade:
Então,
Isso confirma que a afirmação é verdadeira para . Ótimo, o caso base está validado!

Passo 3

Agora, vamos ao passo indutivo. Aqui, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum inteiro , ou seja:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução. Nosso objetivo é usar essa hipótese para provar que a afirmação também vale para , ou seja, mostrar que:

Passo 4

Vamos trabalhar na expressão :
Pela hipótese de indução, sabemos que , então podemos substituir:
Agora, precisamos mostrar que :
Subtraindo de ambos os lados:
Vamos resolver a inequação quadrática . Encontramos as raízes da equação usando a fórmula de Bhaskara:
As raízes são aproximadamente e . Como , a inequação é verdadeira para . Portanto, para , temos:
Assim, mostramos que se , então .

Resposta

Portanto, por indução matemática, a desigualdade é verdadeira para todo .

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