Usando indução, mostre as seguintes afirmações: , para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente provar que para todo . Isso faz parte da matéria de matemática discretas, especificamente usando o método de indução matemática. Vamos precisar entender o que é indução e como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos começar verificando o caso base. O caso base é quando a gente testa a afirmação para o menor valor de que a questão pede, que aqui é . Vamos substituir:
E comparar com . Então,
Isso mostra que a afirmação é verdadeira para .

Passo 3

Agora, vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum número , onde . Ou seja, assumimos que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução. A ideia aqui é que se a afirmação funciona para , vamos ver se ela também funciona para .

Passo 4

Vamos provar que a afirmação é verdadeira para . Substituindo na desigualdade:
Expandindo o quadrado:
Agora, precisamos mostrar que isso é maior que . Então, queremos provar que:

Passo 5

Vamos simplificar a desigualdade:
Subtraindo de ambos os lados:
Fatorando:
Como , ambos e são positivos. Portanto, o produto é positivo, o que confirma que:

Passo 6

Com isso, mostramos que se a afirmação vale para , ela também vale para . Como já confirmamos que vale para , por indução matemática, a afirmação é verdadeira para todo .

Resposta

Portanto, provamos por indução que para todo .

Exercícios relacionados

Após verificar que
é solução da equação diferencial
para , determine uma segunda solução , linearmente independente da primeira.
Expresse a quantidade dada com um único logaritmo
(b)
Determine f e g , dado que
©
Determine a função inversa das seguintes funções:
(d)