Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
, para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente provar que
para todo
. Isso faz parte da matéria de matemática discretas, especificamente usando o método de indução matemática. Vamos precisar entender o que é indução e como aplicá-la passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos começar verificando o caso base. O caso base é quando a gente testa a afirmação para o menor valor de
que a questão pede, que aqui é
. Vamos substituir:
E comparar com
. Então,
Isso mostra que a afirmação é verdadeira para
.
Passo 3
Agora, vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum número
, onde
. Ou seja, assumimos que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução. A ideia aqui é que se a afirmação funciona para
, vamos ver se ela também funciona para
.
Passo 4
Vamos provar que a afirmação é verdadeira para
. Substituindo na desigualdade:
Expandindo o quadrado:
Agora, precisamos mostrar que isso é maior que
. Então, queremos provar que:
Passo 5
Vamos simplificar a desigualdade:
Subtraindo
de ambos os lados:
Fatorando:
Como
, ambos
e
são positivos. Portanto, o produto
é positivo, o que confirma que:
Passo 6
Com isso, mostramos que se a afirmação vale para
, ela também vale para
. Como já confirmamos que vale para
, por indução matemática, a afirmação é verdadeira para todo
.
Resposta
Portanto, provamos por indução que
para todo
.
Exercícios relacionados
Após verificar que
é solução da equação diferencial
para
, determine uma segunda solução
, linearmente independente da primeira.
Expresse a quantidade dada com um único logaritmo
(b)
(b)
Determine f e g , dado que
©
©
Determine a função inversa das seguintes funções:
(d)
(d)