Apresente uma base de R^3 diferente da base canônica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente apresentar uma base de que não seja a base canônica. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre bases e dimensões de espaços vetoriais. Para resolver, precisamos entender o que é uma base e como escolher vetores que sejam linearesmente independentes e que gerem todo o espaço .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma base de é um conjunto de três vetores que não são combinações lineares uns dos outros, ou seja, são linearmente independentes, e que conseguem gerar qualquer vetor em através de combinações lineares. A base canônica usualmente é formada pelos vetores , e .

Passo 3

Como precisamos de uma base diferente, vamos escolher três vetores que não sejam esses. Por exemplo, podemos pegar:
v1 = (1, 1, 0), v2 = (0, 1, 1), v3 = (1, 0, 1)
Esses vetores são diferentes dos da base canônica.

Passo 4

Agora, precisamos verificar se esses vetores são lineares e independentes. Isso significa que nenhuma combinação linear deles resulta no vetor zero, a não ser que todos os escalares sejam zero. Vamos montar uma matriz com esses vetores e calcular o determinante:
1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1
Calculando o determinante:
1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 1) - 0 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 0) + 1 cdot (1 cdot 1 - 1 cdot 0) = 1(1) - 0 + 1(1) = 2 neq 0
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Uma base de diferente da base canônica é formada pelos vetores , e .

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