Decida se existe ou não uma transformação linear
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que decidir se existe ou não uma transformação linear
que satisfaça
para
. Aqui, estamos trabalhando com transformações lineares no plano (
) e precisamos entender se é possível definir uma transformação que mapeie três vetores específicos
para
, respectivamente.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
e
em
e qualquer escalar
, as seguintes propriedades são verdadeiras:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
Essas propriedades garantem que a transformação preserve a estrutura linear do espaço vetorial.
Passo 3
Agora, vamos focar em como definir uma transformação linear no espaço
. Nesse espaço, qualquer transformação linear é completamente determinada pelo que faz com os vetores da base. Uma base para
é um conjunto de dois vetores que são linearmente independentes, ou seja, nenhum dos vetores pode ser escrito como múltiplo do outro.
Se conhecemos
e
, onde
e
são os vetores da base padrão, podemos determinar
para qualquer vetor em
usando combinações lineares desses vetores.
Passo 4
No entanto, na nossa questão, temos três pares de vetores:
,
e
. Aqui está o problema: em
, uma base tem apenas dois vetores. Então, definir
para três vetores implica que estamos tentando estender a definição além do que uma base pode suportar.
Passo 5
Para que uma transformação linear seja bem definida em
e mapeie três vetores específicos, os três vetores
devem ser linearmente dependentes. Isso significa que pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros dois. Se esse não for o caso, não conseguimos definir
de forma consistente para os três vetores ao mesmo tempo.
Passo 6
Além disso, os vetores de imagem
também precisam respeitar essa dependência linear. Ou seja, se
é uma combinação linear de
e
, então
deve ser a mesma combinação linear aplicada a
e
. Se isso não acontecer, não há como ter uma transformação linear consistente que satisfaça todas as três condições simultaneamente.
Passo 7
Em resumo, para que exista uma transformação linear
que satisfaça
para
:
- Os vetores
devem ser linearmente dependentes. - As imagens
devem respeitar a mesma relação de dependência linear que os possuem.
Resposta
Existe uma transformação linear
que satisfaz
para
se e somente se os vetores
são linearmente dependentes e as imagens
mantêm a mesma relação de dependência. Caso contrário, tal transformação não existe.
Exercícios relacionados
Obtenha os resultados das seguintes operações:
, onde
, e
.
Apresente uma base de
diferente da base canônica.
Verifique se os vetores abaixo são ortogonais.
.
Sejam
e
. Pede-se um vetor
sabendo que:
é ortogonal a
é ortogonal a
e
e
formam um ângulo agudo.