Verifique se a função apresentada abaixo é um operador linear.
Resp.: Sim.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função
definida por
. Nosso objetivo é verificar se essa função é um operador linear. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de operadores lineares e verificar se a função satisfaz as propriedades necessárias para ser considerada linear.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um operador linear. Uma função
é linear se, para todos os vetores
e todo escalar
, as seguintes condições são satisfeitas:
- Adição:
- Homogeneidade:
Vamos verificar essas duas propriedades para a função
dada.
Passo 3
Verificando a Adição:
Sejam
e
. Calculamos
e
.
Primeiro,
.
Então,
Simplificando:
Agora, calculamos
:
Observamos que:
Portanto, a propriedade de adição é satisfeita.
Passo 4
Verificando a Homogeneidade:
Seja
e
.
Calculamos
e
.
Primeiro,
.
Então,
Portanto,
Assim, a propriedade de homogeneidade é satisfeita.
Resposta
Sim, a função
é um operador linear.
Exercícios relacionados
a) Considere as retas
e
, onde
e
. Mostre que as duas bissetrizes dos ângulos formados por
e
são
Suponha um sistema de coordenadas ortogonais. Considere o ponto
e o vetor
.
(b) Determine , onde
(b) Determine
Considere a reta
e o plano
.
© Determine a equação paramétrica da reta que é a projeção ortogonal da reta
sobre o plano
, isto é
está contida no plano
.
© Determine a equação paramétrica da reta
Apresente uma base para os seguintes subespaços vetoriais:
(d)
(d)