Verifique se a função apresentada abaixo é um operador linear.
Resp.: Sim.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por . Nosso objetivo é verificar se essa função é um operador linear. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de operadores lineares e verificar se a função satisfaz as propriedades necessárias para ser considerada linear.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um operador linear. Uma função é linear se, para todos os vetores e todo escalar , as seguintes condições são satisfeitas:
  1. Adição:
  2. Homogeneidade:
Vamos verificar essas duas propriedades para a função dada.

Passo 3

Verificando a Adição:
Sejam e . Calculamos e .
Primeiro, .
Então,
Simplificando:
Agora, calculamos :
Observamos que:
Portanto, a propriedade de adição é satisfeita.

Passo 4

Verificando a Homogeneidade:
Seja e .
Calculamos e .
Primeiro, .
Então,
Portanto,
Assim, a propriedade de homogeneidade é satisfeita.

Resposta

Sim, a função é um operador linear.

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(d)