Verifique se a função apresentada abaixo é um operador linear.
& T: R^2 R^2 & (x, y) T(x, y)=(x+2 y, 3 x-y)
Resp.: Sim.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por . Nosso objetivo é verificar se essa função é um operador linear. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de operadores lineares e verificar se a função satisfaz as propriedades necessárias para ser considerada linear.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um operador linear. Uma função é linear se, para todos os vetores e todo escalar , as seguintes condições são satisfeitas:
  1. Adição:
  2. Homogeneidade:
Vamos verificar essas duas propriedades para a função dada.

Passo 3

Verificando a Adição:
Sejam T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = ( (x1 + x2) + 2(y1 + y2), 3(x1 + x2) - (y1 + y2) ) e = (x1 + x2 + 2y1 + 2y2, 3x1 + 3x2 - y1 - y2) . Calculamos T(u) = (x1 + 2y1, 3x1 - y1) e T(v) = (x2 + 2y2, 3x2 - y2) .
Primeiro, T(u) + T(v) = (x1 + 2y1 + x2 + 2y2, 3x1 - y1 + 3x2 - y2) = (x1 + x2 + 2y1 + 2y2, 3x1 + 3x2 - y1 - y2) .
Então,
T(u + v) = T(u) + T(v)
Simplificando:
Agora, calculamos :
Observamos que:
Portanto, a propriedade de adição é satisfeita.

Passo 4

Verificando a Homogeneidade:
Seja T(cu) = T(cx, cy) = (cx + 2 cdot cy, 3 cdot cx - cy) = (c(x + 2y), c(3x - y)) = c(x + 2y, 3x - y) = cT(u) e T(cu) = cT(u) .
Calculamos e .
Primeiro, .
Então,
Portanto,
Assim, a propriedade de homogeneidade é satisfeita.

Resposta

Sim, a função é um operador linear.

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