Apresente uma base para os seguintes subespaços vetoriais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para apresentarmos uma base para o espaço vetorial . Basicamente, uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Para resolver isso, precisamos encontrar quatro vetores em que não possam ser expressos como combinações lineares uns dos outros e que, juntos, preencham todo o espaço de quatro dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “gerar todo o espaço”. Em , qualquer vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base. Isso significa que, se escolhermos os vetores certos, podemos alcançar qualquer ponto nesse espaço usando apenas eles.
Passo 3
A forma mais simples de garantir que os vetores sejam linearmente independentes e que gerem todo o espaço é usar os vetores canônicos. Esses vetores têm 1 em uma posição e 0 nas outras, o que os torna facilmente distinguíveis e independentes entre si.
Passo 4
Então, para , os vetores canônicos são:
Resposta
Uma base para R^4 é composta pelos vetores canônicos: