Sejam
,
e
vetores em
. Determine o subespaço gerado
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinarmos o subespaço gerado pelos vetores
,
e
em
. Basicamente, queremos descobrir qual conjunto de vetores podemos obter combinando esses três vetores. Para isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais e combinação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa gerar um subespaço com esses vetores. O subespaço
é formado por todas as combinações lineares possíveis desses vetores. Ou seja, qualquer vetor
nesse subespaço pode ser escrito como:
onde
são números reais.
Passo 3
Agora, vamos ver se esses vetores são linearmente independentes ou não. Se forem independentes, eles vão gerar um subespaço de dimensão maior. No
, o máximo de vetores independentes é 2. Vamos montar uma matriz com esses vetores para verificar a independência:
Passo 4
Vamos calcular o posto dessa matriz, que nos dirá quantos vetores são realmente independentes. Para isso, podemos fazer uma redução simples. Observando a primeira coluna
e a segunda coluna
, vemos que não há múltiplo escalar que transforme uma na outra. Portanto, pelo menos dois vetores são independentes.
Passo 5
Agora, verificamos o terceiro vetor
. Precisamos ver se ele pode ser escrito como combinação dos dois primeiros vetores
e
. Vamos resolver:
Isso resulta no sistema:
Resolvendo esse sistema, encontramos valores para
e
que satisfazem as equações, mostrando que
é uma combinação linear de
e
.
Passo 6
Como
pode ser escrito como combinação de
e
, ele não acrescenta dimensão extra. Portanto, o subespaço gerado por
é o mesmo que o gerado por
e
.
Passo 7
Finalmente, como temos dois vetores independentes em
, o subespaço gerado é todo o espaço
.
Resposta
O subespaço gerado pelos vetores
é todo o espaço
.