Sejam u=(1,-1), v=(2,1) e w=(1,-4) vetores em R^2. Determine o subespaço gerado [u, v, w].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinarmos o subespaço gerado pelos vetores , e em . Basicamente, queremos descobrir qual conjunto de vetores podemos obter combinando esses três vetores. Para isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais e combinação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa gerar um subespaço com esses vetores. O subespaço x = a cdot u + b cdot v + c cdot w é formado por todas as combinações lineares possíveis desses vetores. Ou seja, qualquer vetor nesse subespaço pode ser escrito como:
onde são números reais.

Passo 3

Agora, vamos ver se esses vetores são linearmente independentes ou não. Se forem independentes, eles vão gerar um subespaço de dimensão maior. No 1 & 2 & 1 -1 & 1 & -4 , o máximo de vetores independentes é 2. Vamos montar uma matriz com esses vetores para verificar a independência:

Passo 4

Vamos calcular o posto dessa matriz, que nos dirá quantos vetores são realmente independentes. Para isso, podemos fazer uma redução simples. Observando a primeira coluna e a segunda coluna , vemos que não há múltiplo escalar que transforme uma na outra. Portanto, pelo menos dois vetores são independentes.

Passo 5

Agora, verificamos o terceiro vetor a cdot (1, -1) + b cdot (2, 1) = (1, -4) . Precisamos ver se ele pode ser escrito como combinação dos dois primeiros vetores a + 2b = 1 - a + b = -4 e . Vamos resolver:
Isso resulta no sistema:
Resolvendo esse sistema, encontramos valores para e que satisfazem as equações, mostrando que é uma combinação linear de e .

Passo 6

Como pode ser escrito como combinação de e , ele não acrescenta dimensão extra. Portanto, o subespaço gerado por é o mesmo que o gerado por e .

Passo 7

Finalmente, como temos dois vetores independentes em , o subespaço gerado é todo o espaço .

Resposta

O subespaço gerado pelos vetores é todo o espaço .

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