Apresente uma base para os seguintes subespaços vetoriais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma base para o subespaço vetorial
. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente trabalhando com subespaços vetoriais e bases. Para isso, vamos precisar identificar vetores que gerem o subespaço
e que sejam linearmente independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o subespaço
. Ele é definido por todas as combinações de vetores no espaço tridimensional
onde a primeira coordenada
é sempre zero. Ou seja, qualquer vetor em
tem a forma
, onde
e
podem ser quaisquer números reais.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar vetores que pertençam a
e que possam construir qualquer vetor desse subespaço através de combinações lineares. Vamos pensar nos vetores que, quando combinados, deixam
. Um jeito simples de fazer isso é escolher vetores onde somente
ou
são diferentes de zero.
Por exemplo:
- O vetor
tem e . - O vetor
tem e .
Passo 4
Agora, vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Isso significa que nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear do outro. Claro que isso é verdade aqui, porque
tem uma componente
e
tem uma componente
, e nenhuma combinação de um deles pode criar a outra.
Além disso, qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação desses dois vetores:
Isso mostra que
e
geram o subespaço
.
Resposta
Portanto, uma base para o subespaço
é formada pelos vetores: