Apresente uma base para os seguintes subespaços vetoriais: S=(x, y, z) in R^3 mid x=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma base para o subespaço vetorial . Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente trabalhando com subespaços vetoriais e bases. Para isso, vamos precisar identificar vetores que gerem o subespaço e que sejam linearmente independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o subespaço . Ele é definido por todas as combinações de vetores no espaço tridimensional onde a primeira coordenada é sempre zero. Ou seja, qualquer vetor em tem a forma , onde e podem ser quaisquer números reais.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar vetores que pertençam a e que possam construir qualquer vetor desse subespaço através de combinações lineares. Vamos pensar nos vetores que, quando combinados, deixam . Um jeito simples de fazer isso é escolher vetores onde somente ou são diferentes de zero.
Por exemplo:
  • O vetor tem e .
  • O vetor tem e .

Passo 4

Agora, vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Isso significa que nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear do outro. Claro que isso é verdade aqui, porque (0, y, z) = y cdot u + z cdot v = y cdot (0, 1, 0) + z cdot (0, 0, 1) tem uma componente e tem uma componente , e nenhuma combinação de um deles pode criar a outra.
Além disso, qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação desses dois vetores:
Isso mostra que e geram o subespaço .

Resposta

Portanto, uma base para o subespaço , (0, 1, 0), (0, 0, 1) , é formada pelos vetores:

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Mostre que o conjunto S=(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1) é uma base de R^3.
Encontre o determinante, usando o método de copiar as duas primeiras colunas à direita da matriz dada.
© |ccc0 & 3 & 0 2 & 0 & 0 0 & 0 & -4|
Calcule os determinantes usando expansão de cofatores por qualquer linha ou coluna que pareça conveniente.
(d) |ccccos theta & sen theta & tg theta 0 & cos theta & -sen theta 0 & sen theta & cos theta|
Use propriedades para calcular o valor do determinante indicado, por inspeção direta. Explique seu raciocínio.
(f) |ccc4 & 1 & 3 -2 & 0 & -2 5 & 4 & 1|