Apresente uma base para os seguintes subespaços vetoriais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma base para o subespaço vetorial . Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente trabalhando com subespaços vetoriais e bases. Para isso, vamos precisar identificar vetores que gerem o subespaço e que sejam linearmente independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o subespaço . Ele é definido por todas as combinações de vetores no espaço tridimensional onde a primeira coordenada é sempre zero. Ou seja, qualquer vetor em tem a forma , onde e podem ser quaisquer números reais.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar vetores que pertençam a e que possam construir qualquer vetor desse subespaço através de combinações lineares. Vamos pensar nos vetores que, quando combinados, deixam . Um jeito simples de fazer isso é escolher vetores onde somente ou são diferentes de zero.
Por exemplo:
O vetor tem e .
O vetor tem e .
Passo 4
Agora, vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Isso significa que nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear do outro. Claro que isso é verdade aqui, porque tem uma componente e tem uma componente , e nenhuma combinação de um deles pode criar a outra.
Além disso, qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação desses dois vetores:
Isso mostra que e geram o subespaço .
Resposta
Portanto, uma base para o subespaço é formada pelos vetores: