Calcule os determinantes usando expansão de cofatores por qualquer linha ou coluna que pareça conveniente.
(d)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o determinante de uma matriz 3x3 usando a expansão de cofatores. Para isso, vamos precisar conhecer os conceitos de determinante, matriz e expansão por cofatores. A ideia é escolher uma linha ou coluna que facilite os cálculos, preferencialmente aquela que contenha zeros, pois simplifica a operação.
Passo 2
Vamos analisar a matriz que nos foi dada:
Observando, vemos que a primeira coluna tem dois zeros abaixo do primeiro elemento. Isso é ótimo porque, ao expandirmos por essa coluna, muitos termos vão desaparecer, facilitando o cálculo. Portanto, vamos escolher expandir pelo elemento (1,1), que é cos theta & sen theta & tg theta 0 & cos theta & -sen theta 0 & sen theta & cos theta .
Passo 3
A fórmula para a expansão de cofatores ao longo da primeira coluna é:
det(A) = a11C11 + a21C21 + a31C31
Onde:
são os elementos da matriz.
são os cofatores, calculados por .
é o menor complementar, que é o determinante da matriz menor obtida removendo a i-ésima linha e a j-ésima coluna.
Passo 4
Vamos calcular cada termo da expansão:
Para C11 = (-1)^1+1 cdot det cos theta & -sen theta sen theta & cos theta = 1 cdot (cos theta cdot cos theta - (-sen theta) cdot sen theta) = cos^2 theta + sen^2 theta :
Sabemos que , então C21 = (-1)^2+1 cdot det sen theta & tg theta sen theta & cos theta = -1 cdot (sen theta cdot cos theta - tg theta cdot sen theta) = -1 cdot (sen theta cos theta - sen theta tg theta) .
Para :
Mas como , esse termo toda vez que multiplicamos por zero vai dar zero, então não precisamos nos preocupar com ele.
Para :
Da mesma forma que o termo anterior, , então não influencia no resultado final.
Passo 5
Agora, substituímos os valores na fórmula da expansão: