Calcule os determinantes usando expansão de cofatores por qualquer linha ou coluna que pareça conveniente.
(d) |ccccos theta & sen theta & tg theta 0 & cos theta & -sen theta 0 & sen theta & cos theta|

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o determinante de uma matriz 3x3 usando a expansão de cofatores. Para isso, vamos precisar conhecer os conceitos de determinante, matriz e expansão por cofatores. A ideia é escolher uma linha ou coluna que facilite os cálculos, preferencialmente aquela que contenha zeros, pois simplifica a operação.

Passo 2

Vamos analisar a matriz que nos foi dada:
Observando, vemos que a primeira coluna tem dois zeros abaixo do primeiro elemento. Isso é ótimo porque, ao expandirmos por essa coluna, muitos termos vão desaparecer, facilitando o cálculo. Portanto, vamos escolher expandir pelo elemento (1,1), que é cos theta & sen theta & tg theta 0 & cos theta & -sen theta 0 & sen theta & cos theta .

Passo 3

A fórmula para a expansão de cofatores ao longo da primeira coluna é:
det(A) = a11C11 + a21C21 + a31C31
Onde:
  • são os elementos da matriz.
  • são os cofatores, calculados por .
  • é o menor complementar, que é o determinante da matriz menor obtida removendo a i-ésima linha e a j-ésima coluna.

Passo 4

Vamos calcular cada termo da expansão:
  1. Para C11 = (-1)^1+1 cdot det cos theta & -sen theta sen theta & cos theta = 1 cdot (cos theta cdot cos theta - (-sen theta) cdot sen theta) = cos^2 theta + sen^2 theta :
    Sabemos que , então C21 = (-1)^2+1 cdot det sen theta & tg theta sen theta & cos theta = -1 cdot (sen theta cdot cos theta - tg theta cdot sen theta) = -1 cdot (sen theta cos theta - sen theta tg theta) .
  2. Para :
    Mas como , esse termo toda vez que multiplicamos por zero vai dar zero, então não precisamos nos preocupar com ele.
  3. Para :
    Da mesma forma que o termo anterior, , então não influencia no resultado final.

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula da expansão:
det(A) = a11C11 + a21C21 + a31C31 = cos theta cdot 1 + 0 cdot C21 + 0 cdot C31 = cos theta

Resposta

Portanto, o determinante da matriz é:
det(A) = cos theta

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