Mostre que o conjunto S=(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1) é uma base de R^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que o conjunto é uma base do espaço tridimensional . Isso está ligado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre bases e independência linear. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser uma base e verificar se as condições para isso são atendidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base de . Uma base é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço . Ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses três vetores.

Passo 3

Vamos verificar se os vetores do conjunto A = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1 são linearmente independentes. Para isso, colocamos os vetores em uma matriz e calculamos o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.
A matriz formada pelos vetores de é:

Passo 4

Calculando o determinante da matriz det(A) = 1 cdot det1 & 0 1 & 1 - 0 cdot det1 & 0 1 & 1 + 0 cdot det1 & 1 1 & 1 :
det(A) = 1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 1) - 0 + 0 = 1 cdot 1 = 1
Como , os vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Agora, como temos três vetores linearmente independentes em , automaticamente eles geram todo o espaço . Isso porque em um espaço de dimensão três, três vetores independentes já garantem que qualquer vetor do espaço pode ser formado por eles.

Resposta

Portanto, o conjunto é uma base de .

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