Use propriedades para calcular o valor do determinante indicado, por inspeção direta. Explique seu raciocínio.
(f) |ccc4 & 1 & 3 -2 & 0 & -2 5 & 4 & 1|

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse determinante juntos! A gente está trabalhando com Matrizes e, mais especificamente, com o cálculo de determinantes usando propriedades para facilitar a conta. Vamos precisar identificar alguma propriedade que simplifique a matriz para calcular o determinante mais facilmente.

Passo 2

Primeiro, dá uma olhada na matriz que temos:
4 & 1 & 3 -2 & 0 & -2 5 & 4 & 1
Percebo que na segunda linha, os elementos estão todos multiplicados por -2 comparados com a primeira linha. Mas, para facilitar, vou tentar usar a expansão por uma linha ou coluna que tenha zeros ou números mais simples.

Passo 3

Vou tentar simplificar usando uma propriedade de determinantes: se eu somar a segunda linha multiplicada por 2 à primeira linha, vou eliminar o -2 da segunda linha. Então, vamos fazer essa operação.
Nova primeira linha:
4 + 2(-2) = 4 - 4 = 0
1 + 2(0) = 1 + 0 = 1
3 + 2(-2) = 3 - 4 = -1
A nova matriz fica:
0 & 1 & -1 -2 & 0 & -2 5 & 4 & 1

Passo 4

Agora, observando a nova matriz, vou calcular o determinante usando a regra de Sarrus ou a expansão por co-fatores. Vou optar pela expansão pela primeira linha, que tem um zero, o que simplifica a conta.
Lembrando que o determinante para uma matriz 3x3 é:
det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31))

Passo 5

Aplicando a fórmula:
det(A) = 0 cdot (0 cdot 1 - (-2) cdot 4) - 1 cdot (-2 cdot 1 - (-2) cdot 5) + (-1) cdot (-2 cdot 4 - 0 cdot 5)
Simplificando cada termo:
  • Primeiro termo: 0 - 8 + 8 = 0
  • Segundo termo:
  • Terceiro termo:
Somando todos:

Resposta

O valor do determinante é 0.

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