Apresente um conjunto com três vetores do , diferentes dos da base canônica, que sejam linearmente independentes (LI). Justifique porque os vetores escolhidos são LI.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um conjunto de três vetores no espaço tridimensional que sejam diferentes dos vetores da base canônica e que sejam linearmente independentes. Isso está relacionado ao conteúdo de Álgebra Linear, especialmente à ideia de combinação linear e independência linear. Para resolver isso, vamos lembrar como verificar se vetores são linearmente independentes e escolher vetores que atendam a esses critérios.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher três vetores que não sejam os vetores da base canônica. A base canônica em é formada por:
Vamos escolher vetores diferentes desses. Por exemplo:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Lembra que um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero.
Matematicamente, se quisermos encontrar se:
tem apenas a solução , então os vetores são linearmente independentes.
Passo 4
Vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
A matriz fica assim:
Passo 5
Calculando o determinante de :
Vamos calcular cada parte:
Então:
Resposta
Como o determinante de é diferente de zero (), os vetores , e são linearmente independentes.