Apresente um conjunto com três vetores do R^3, diferentes dos da base canônica, que sejam linearmente independentes (LI). Justifique porque os vetores escolhidos são LI.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um conjunto de três vetores no espaço tridimensional R^3 que sejam diferentes dos vetores da base canônica e que sejam linearmente independentes. Isso está relacionado ao conteúdo de Álgebra Linear, especialmente à ideia de combinação linear e independência linear. Para resolver isso, vamos lembrar como verificar se vetores são linearmente independentes e escolher vetores que atendam a esses critérios.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher três vetores que não sejam os vetores da base canônica. A base canônica em R^3 é formada por:
e1 = 1 0 0, e2 = 0 1 0, e3 = 0 0 1
Vamos escolher vetores diferentes desses. Por exemplo:
v1 = 1 2 3, v2 = 4 5 6, v3 = 7 8 10

Passo 3

Agora, precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Lembra que um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero.
Matematicamente, se quisermos encontrar se:
a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3 = 0 0 0
tem apenas a solução a = b = c = 0, então os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
A matriz fica assim:
A = 1 & 4 & 7 2 & 5 & 8 3 & 6 & 10

Passo 5

Calculando o determinante de A:
det(A) = 1 cdot (5 cdot 10 - 8 cdot 6) - 4 cdot (2 cdot 10 - 3 cdot 8) + 7 cdot (2 cdot 6 - 3 cdot 5)
Vamos calcular cada parte:
  • 5 cdot 10 - 8 cdot 6 = 50 - 48 = 2
  • 2 cdot 10 - 3 cdot 8 = 20 - 24 = -4
  • 2 cdot 6 - 3 cdot 5 = 12 - 15 = -3
Então:
det(A) = 1 cdot 2 - 4 cdot (-4) + 7 cdot (-3) = 2 + 16 - 21 = -3

Resposta

Como o determinante de A é diferente de zero ( -3 neq 0), os vetores v1, v2 e v3 são linearmente independentes.

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