Apresente um conjunto com três vetores do , diferentes dos da base canônica, que sejam linearmente independentes (LI). Justifique porque os vetores escolhidos são LI.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um conjunto de três vetores no espaço tridimensional que sejam diferentes dos vetores da base canônica e que sejam linearmente independentes. Isso está relacionado ao conteúdo de Álgebra Linear, especialmente à ideia de combinação linear e independência linear. Para resolver isso, vamos lembrar como verificar se vetores são linearmente independentes e escolher vetores que atendam a esses critérios.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher três vetores que não sejam os vetores da base canônica. A base canônica em é formada por:
Vamos escolher vetores diferentes desses. Por exemplo:

Passo 3

Agora, precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Lembra que um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero.
Matematicamente, se quisermos encontrar se:
tem apenas a solução , então os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
A matriz fica assim:

Passo 5

Calculando o determinante de :
Vamos calcular cada parte:
Então:

Resposta

Como o determinante de é diferente de zero ( ), os vetores , e são linearmente independentes.

Exercícios relacionados

Dados os pontos e , e sendo a reta que passa por e , responda: A equação vetorial de pode ser dada por
onde os valores de e são
Tempo restante 2:52:07
Considere os pontos e .
Sabendo que à norma do vetor é igual à norma do vetor e que . Determine .
Considere o subespaço vetorial e . Apresente um vetor do , diferente do vetor nulo, que pertença a . Justifique sua escolha.
Mostre que os conjuntos abaixo são subespaços.
o conjunto dos polinômios de grau até 2 .
(Obs: como todo polinômio é função contínua, .)