Considere os pontos e .
Sabendo que à norma do vetor é igual à norma do vetor C D e que y>0. Determine y.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos quatro pontos no espaço: | V | = raizvx^2 + vy^2 + vz^2 , , e . A questão nos pede para encontrar o valor de sabendo que a norma do vetor é igual à norma do vetor e que .
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a norma de um vetor no espaço tridimensional. A norma de um vetor é dada por:
Vamos seguir passo a passo para encontrar .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os componentes do vetor AB = B - A = (2 - 1, , 0 - 2, , 0 - (-1)) = (1, -2, 1) . Para isso, subtraímos as coordenadas de das coordenadas de :
Passo 3
Agora, vamos calcular a norma de | AB | = raiz1^2 + (-2)^2 + 1^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6 usando a fórmula da norma:
Passo 4
Em seguida, vamos determinar os componentes do vetor CD = D - C = (0 - (-1), , 2 - 1, , 0 - y) = (1, 1, -y) . Subtraímos as coordenadas de das coordenadas de :
Passo 5
Agora, calculamos a norma de | CD | = raiz1^2 + 1^2 + (-y)^2 = raiz1 + 1 + y^2 = raiz2 + y^2 :
Passo 6
Sabemos que as normas são iguais, então igualamos as duas expressões:
raiz6 = raiz2 + y^2
Para resolver, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes: