Considere os pontos A=(1,2,-1), B=(2,0,0), C=(-1,1, y) e D=(0,2,0).
Sabendo que à norma do vetor A B é igual à norma do vetor C D e que y>0. Determine y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos quatro pontos no espaço: | V | = raizvx^2 + vy^2 + vz^2 , , e . A questão nos pede para encontrar o valor de sabendo que a norma do vetor é igual à norma do vetor e que .
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a norma de um vetor no espaço tridimensional. A norma de um vetor é dada por:
Vamos seguir passo a passo para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os componentes do vetor AB = B - A = (2 - 1, , 0 - 2, , 0 - (-1)) = (1, -2, 1) . Para isso, subtraímos as coordenadas de das coordenadas de :

Passo 3

Agora, vamos calcular a norma de | AB | = raiz1^2 + (-2)^2 + 1^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6 usando a fórmula da norma:

Passo 4

Em seguida, vamos determinar os componentes do vetor CD = D - C = (0 - (-1), , 2 - 1, , 0 - y) = (1, 1, -y) . Subtraímos as coordenadas de das coordenadas de :

Passo 5

Agora, calculamos a norma de | CD | = raiz1^2 + 1^2 + (-y)^2 = raiz1 + 1 + y^2 = raiz2 + y^2 :

Passo 6

Sabemos que as normas são iguais, então igualamos as duas expressões:
raiz6 = raiz2 + y^2
Para resolver, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
6 = 2 + y^2

Passo 7

Agora, isolamos y^2 = 6 - 2 = 4 :
y = raiz4 = 2
Então,
Como , descartamos a solução negativa.

Resposta

O valor de é .

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