Mostre que os conjuntos abaixo são subespaços.
o conjunto dos polinômios de grau até 2 .
(Obs: como todo polinômio é função contínua,
.)
(Obs: como todo polinômio é função contínua,
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que certos conjuntos são subespaços. Hoje, vamos focar no conjunto
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau até 2. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais. Precisamos verificar três coisas principais: se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um subespaço vetorial. Em álgebra linear, um subespaço é um conjunto que, além de ser parte de um espaço vetorial maior, também satisfaz três condições: contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se você pegar dois elementos do conjunto e somar, o resultado também está no conjunto. O mesmo vale se você multiplicar qualquer elemento por um número real.
Passo 3
Agora, vamos verificar a primeira condição: contém o vetor zero. No contexto dos polinômios, o vetor zero é o polinômio onde todos os coeficientes são zero. Ou seja,
. Esse polinômio está claro no conjunto
, porque podemos escolher
. Então, a primeira condição está satisfeita.
Passo 4
A segunda condição é que o conjunto seja fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois polinômios quaisquer de
, somá-los e verificar se o resultado ainda pertence a
. Vamos considerar dois polinômios
e
, onde
.
Somando
. Como
,
e
ainda são números reais, o polinômio resultante também está em
. Portanto, a soma de dois elementos de
também pertence a
, satisfazendo a segunda condição.
Passo 5
A terceira condição é que o conjunto seja fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se tomarmos qualquer polinômio de
e multiplicarmos por um número real qualquer, o resultado ainda deve estar em
. Vamos pegar um polinômio
e um escalar
.
Multiplicando, temos
. Novamente,
,
e
são números reais, então o polinômio resultante também está em
. Assim, a multiplicação por escalar não sai do conjunto, cumprindo a terceira condição.
Resposta
Concluímos que
satisfaz todas as condições necessárias para ser um subespaço vetorial, já que contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar. Portanto,
é um subespaço de
.
Exercícios relacionados
Considere o subespaço vetorial
e
. Apresente um vetor do
, diferente do vetor nulo, que pertença a
. Justifique sua escolha.
Apresente um conjunto com três vetores do
, diferentes dos da base canônica, que sejam linearmente independentes (LI). Justifique porque os vetores escolhidos são LI.
Considere o subespaço vetorial
e
. O vetor
pertence a
? Justifique sua resposta.
Mostre que os conjuntos abaixo são subespaços.
O conjunto das matrizes antissimétricas é subespaço de
.
O conjunto