Mostre que os conjuntos abaixo são subespaços.
o conjunto dos polinômios de grau até 2 .
(Obs: como todo polinômio é função contínua, .)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que certos conjuntos são subespaços. Hoje, vamos focar no conjunto , que é o conjunto de todos os polinômios de grau até 2. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais. Precisamos verificar três coisas principais: se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um subespaço vetorial. Em álgebra linear, um subespaço é um conjunto que, além de ser parte de um espaço vetorial maior, também satisfaz três condições: contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se você pegar dois elementos do conjunto e somar, o resultado também está no conjunto. O mesmo vale se você multiplicar qualquer elemento por um número real.

Passo 3

Agora, vamos verificar a primeira condição: contém o vetor zero. No contexto dos polinômios, o vetor zero é o polinômio onde todos os coeficientes são zero. Ou seja, . Esse polinômio está claro no conjunto , porque podemos escolher . Então, a primeira condição está satisfeita.

Passo 4

A segunda condição é que o conjunto seja fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois polinômios quaisquer de , somá-los e verificar se o resultado ainda pertence a . Vamos considerar dois polinômios e , onde .
Somando . Como , e ainda são números reais, o polinômio resultante também está em . Portanto, a soma de dois elementos de também pertence a , satisfazendo a segunda condição.

Passo 5

A terceira condição é que o conjunto seja fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se tomarmos qualquer polinômio de e multiplicarmos por um número real qualquer, o resultado ainda deve estar em . Vamos pegar um polinômio e um escalar .
Multiplicando, temos . Novamente, , e são números reais, então o polinômio resultante também está em . Assim, a multiplicação por escalar não sai do conjunto, cumprindo a terceira condição.

Resposta

Concluímos que satisfaz todas as condições necessárias para ser um subespaço vetorial, já que contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar. Portanto, é um subespaço de .

Exercícios relacionados

Considere o subespaço vetorial e . Apresente um vetor do , diferente do vetor nulo, que pertença a . Justifique sua escolha.
Apresente um conjunto com três vetores do , diferentes dos da base canônica, que sejam linearmente independentes (LI). Justifique porque os vetores escolhidos são LI.
Considere o subespaço vetorial e . O vetor pertence a ? Justifique sua resposta.
Mostre que os conjuntos abaixo são subespaços.
O conjunto das matrizes antissimétricas é subespaço de .