Considere o subespaço vetorial W=(x, y, z, w) in R^4 mid 2 w-x=0 e 4 z-y=0. Apresente um vetor do R^4, diferente do vetor nulo, que pertença a W. Justifique sua escolha.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um subespaço vetorial no espaço , definido pelas condições e . Nosso objetivo aqui é encontrar um vetor diferente do vetor nulo que pertença a esse subespaço. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre subespaços vetoriais e como encontrar vetores que satisfazem determinadas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as condições que definem o subespaço 2w - x = 0 e 4z - y = 0 . As equações dadas são:
Isso significa que qualquer vetor no subespaço deve satisfazer essas duas equações simultaneamente.

Passo 3

Vamos reescrever essas equações para expressar x = 2w e y = 4z em termos de e :
Agora, percebemos que e podem ser quaisquer números reais, pois não há restrições sobre eles nas equações. Isso significa que podemos escolher valores específicos para e e, em seguida, calcular e com base nesses valores para obter um vetor em .

Passo 4

Vamos escolher valores simples para w = 1 e z = 1 e x = 2 times 1 = 2 . Por exemplo, vamos definir:
y = 4 times 1 = 4
Agora, substituímos esses valores nas equações que encontramos:
Portanto, o vetor resultante é .

Resposta

Um vetor que pertence a e é diferente do vetor nulo é .

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