Apresente a equação da cônica definida pelas condições dadas, marcando vértice(s) e foco(s), desenhando as assíntotas (hipérbole) e diretriz (parábola).
Hipérbole com vértices
e focos
,
Hipérbole com vértices
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a equação de uma hipérbole baseada nos vértices e focos fornecidos. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre as características das hipérboles, como os parâmetros
,
, e
, e como eles se relacionam na equação padrão da hipérbole.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. Olhando para os vértices
e
, percebemos que eles estão simétricos em relação à origem. Isso significa que o centro da hipérbole está no ponto médio entre os vértices, que é
.
Passo 3
Sabendo que o centro está na origem e os vértices estão ao longo do eixo
, a equação padrão da hipérbole com eixo horizontal é:
Aqui,
é a distância do centro até cada vértice, e
está relacionado à forma da hipérbole.
Passo 4
Vamos encontrar o valor de
. A distância entre os vértices é
. Como os vértices estão em
e
no eixo
, temos:
Passo 5
Agora, vamos descobrir o valor de
, que é a distância do centro até cada foco. Os focos dados são
e
, então:
Passo 6
Em uma hipérbole, os valores
,
e
estão relacionados pela fórmula:
Substituindo os valores que já temos:
Passo 7
Agora que temos
e
, vamos substituir esses valores na equação padrão da hipérbole:
Resposta
A equação da hipérbole é: