Apresente a equação da cônica definida pelas condições dadas, marcando vértice(s) e foco(s), desenhando as assíntotas (hipérbole) e diretriz (parábola).
Hipérbole com vértices A1=(3,0), A2=(-3,0) e focos F1=(5,0), F2=(-5,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a equação de uma hipérbole baseada nos vértices e focos fornecidos. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre as características das hipérboles, como os parâmetros , , e , e como eles se relacionam na equação padrão da hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. Olhando para os vértices e , percebemos que eles estão simétricos em relação à origem. Isso significa que o centro da hipérbole está no ponto médio entre os vértices, que é .

Passo 3

Sabendo que o centro está na origem e os vértices estão ao longo do eixo x^2a^2 - y^2b^2 = 1 , a equação padrão da hipérbole com eixo horizontal é:
Aqui, é a distância do centro até cada vértice, e está relacionado à forma da hipérbole.

Passo 4

Vamos encontrar o valor de 2a = 3 - (-3) = 6 implies a = 3 . A distância entre os vértices é . Como os vértices estão em e no eixo , temos:

Passo 5

Agora, vamos descobrir o valor de c = 5 , que é a distância do centro até cada foco. Os focos dados são e , então:

Passo 6

Em uma hipérbole, os valores c^2 = a^2 + b^2 , 5^2 = 3^2 + b^2 implies 25 = 9 + b^2 implies b^2 = 16 implies b = 4 e estão relacionados pela fórmula:
Substituindo os valores que já temos:

Passo 7

Agora que temos x^23^2 - y^24^2 = 1 implies x^29 - y^216 = 1 e , vamos substituir esses valores na equação padrão da hipérbole:

Resposta

A equação da hipérbole é:
x^29 - y^216 = 1

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