Apresente a equação da cônica definida pelas condições dadas, marcando vértice(s) e foco(s), desenhando as assíntotas (hipérbole) e diretriz (parábola).
Elipse com focos F1=(-4,1), F2=(4,1) e vértices A1=(-5,1), A2=(5,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! A gente vai precisar entender o que define uma elipse, como os vértices e focos se relacionam, e usar essas informações pra montar a equação correta. Então, vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos que a gente tem: os focos são e , e os vértices são e . Como os focos e vértices têm a mesma coordenada y, isso indica que o eixo principal da elipse é horizontal.

Passo 3

O centro da elipse fica no ponto médio entre os focos ou entre os vértices. Calculando, temos:
Centro = ( -4 + 42, 1 + 12 ) = (0,1)
Então, o centro é .

Passo 4

Agora, vamos determinar o valor de a = 5 , que é a distância do centro até um dos vértices. Como os vértices estão em e , a distância é:

Passo 5

Em seguida, encontramos o valor de c = 4 , que é a distância do centro até um dos focos. Os focos estão em e , então:

Passo 6

Para achar c^2 = a^2 - b^2 , usamos a relação entre 4^2 = 5^2 - b^2 16 = 25 - b^2 b^2 = 25 - 16 b^2 = 9 b = 3 , e em uma elipse:
Substituindo os valores que já temos:

Passo 7

Agora, podemos escrever a equação da elipse. A fórmula padrão de uma elipse com eixo horizontal é:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Onde (x - 0)^25^2 + (y - 1)^23^2 = 1 x^225 + (y - 1)^29 = 1 é o centro da elipse. Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A equação da elipse é:
x^225 + (y - 1)^29 = 1

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