Apresente a equação da cônica definida pelas condições dadas, marcando vértice(s) e foco(s), desenhando as assíntotas (hipérbole) e diretriz (parábola).
Elipse com focos
e vértices
,
.
Elipse com focos
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! A gente vai precisar entender o que define uma elipse, como os vértices e focos se relacionam, e usar essas informações pra montar a equação correta. Então, vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos que a gente tem: os focos são
e
, e os vértices são
e
. Como os focos e vértices têm a mesma coordenada y, isso indica que o eixo principal da elipse é horizontal.
Passo 3
O centro da elipse fica no ponto médio entre os focos ou entre os vértices. Calculando, temos:
Então, o centro é
.
Passo 4
Agora, vamos determinar o valor de
, que é a distância do centro até um dos vértices. Como os vértices estão em
e
, a distância é:
Passo 5
Em seguida, encontramos o valor de
, que é a distância do centro até um dos focos. Os focos estão em
e
, então:
Passo 6
Para achar
, usamos a relação entre
,
e
em uma elipse:
Substituindo os valores que já temos:
Passo 7
Agora, podemos escrever a equação da elipse. A fórmula padrão de uma elipse com eixo horizontal é:
Onde
é o centro da elipse. Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A equação da elipse é: