Identifique as cônicas e esboce seus gráficos, marcando vértice(s) e foco(s), desenhando as assíntotas (hipérbole) e diretriz (parábola).
Passo 1
Então, você tem a equação
e precisa identificar qual cônica ela representa. Vamos usar o conteúdo de cônicas da matéria de geometria analítica. Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado nas variáveis
e
para colocar a equação na forma padrão de uma cônica.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de
e
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para a parte de
. Pegamos os coeficientes de
, que são 25 e -50.
Fatorando 25 de
:
Para completar o quadrado dentro do parêntese:
Adicionamos e subtraímos 1 dentro do parêntese:
Isso fica:
Passo 4
Agora, vamos completar o quadrado para a parte de
. Pegamos os coeficientes de
, que são 16 e -64.
Fatorando 16 de
:
Para completar o quadrado dentro do parêntese:
Adicionamos e subtraímos 4 dentro do parêntese:
Isso fica:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a equação:
Passo 6
Dividindo todos os termos por 400 para colocar na forma padrão:
Passo 7
Agora, identificamos a cônica. A equação está na forma padrão de uma elipse:
Onde:
- Centro
-
então -
então
Passo 8
Para uma elipse, os vértices estão a uma distância
do centro ao longo do eixo maior. Como
, o eixo maior é vertical.
- Vértices:
e - Focos: Calculamos
- Focos:
e
- Focos:
Resposta
A cônica é uma elipse com centro em
. Os vértices estão em
e
. Os focos estão em
e
. O eixo maior é vertical, com comprimento total de 10 unidades, e o eixo menor é horizontal, com comprimento total de 8 unidades.