Identifique as cônicas e esboce seus gráficos, marcando vértice(s) e foco(s), desenhando as assíntotas (hipérbole) e diretriz (parábola).
25 x^2+16 y^2-50 x-64 y=311

Passo 1

Então, você tem a equação 25 x^2 +16 y^2 -50 x -64 y=311 e precisa identificar qual cônica ela representa. Vamos usar o conteúdo de cônicas da matéria de geometria analítica. Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado nas variáveis e para colocar a equação na forma padrão de uma cônica.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de 25x^2 -50x +16y^2 -64y = 311 e :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para a parte de 25(x^2 - 2x) +16y^2 -64y = 311. Pegamos os coeficientes de x^2 - 2x precisa de (-22)^2 = 1 , que são 25 e -50.
Fatorando 25 de 25(x^2 - 2x +1 -1) +16y^2 -64y = 311:
25(x-1)^2 -25 +16y^2 -64y = 311
Para completar o quadrado dentro do parêntese:
Adicionamos e subtraímos 1 dentro do parêntese:
Isso fica:

Passo 4

Agora, vamos completar o quadrado para a parte de 25(x-1)^2 -25 +16(y^2 -4y) = 311. Pegamos os coeficientes de y^2 -4y precisa de (-42)^2 = 4 , que são 16 e -64.
Fatorando 16 de 25(x-1)^2 -25 +16(y^2 -4y +4 -4) = 311:
25(x-1)^2 -25 +16(y-2)^2 -64 = 311
Para completar o quadrado dentro do parêntese:
Adicionamos e subtraímos 4 dentro do parêntese:
Isso fica:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a equação:
25(x-1)^2 +16(y-2)^2 -25 -64 = 311
25(x-1)^2 +16(y-2)^2 -89 = 311
25(x-1)^2 +16(y-2)^2 = 400

Passo 6

Dividindo todos os termos por 400 para colocar na forma padrão:
(x-1)^216 + (y-2)^225 = 1

Passo 7

Agora, identificamos a cônica. A equação está na forma padrão de uma elipse:
(x-h)^2a^2 + (y-k)^2b^2 = 1
Onde:
  • Centro
  • então
  • então

Passo 8

Para uma elipse, os vértices estão a uma distância do centro ao longo do eixo maior. Como , o eixo maior é vertical.
  • Vértices: e
  • Focos: Calculamos
    • Focos: e

Resposta

A cônica é uma elipse com centro em . Os vértices estão em e . Os focos estão em e . O eixo maior é vertical, com comprimento total de 10 unidades, e o eixo menor é horizontal, com comprimento total de 8 unidades.

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