Apresente a equação da cônica definida pelas condições dadas, marcando vértice(s) e foco(s), desenhando as assíntotas (hipérbole) e diretriz (parábola).
Parábola com foco (2,1) e vértice (-1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma parábola com foco no ponto (2,1) e vértice em (-1,1). Nosso objetivo é encontrar a equação dessa parábola e identificar seus elementos principais, como vértice, foco e diretriz.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a posição do foco em relação ao vértice. Observando os pontos dados, tanto o vértice (-1,1) quanto o foco (2,1) estão na mesma altura vertical (mesmo valor de y). Isso significa que a parábola abre horizontalmente. Como o foco está à direita do vértice, a parábola abre para a direita.

Passo 3

Vamos lembrar da fórmula padrão da equação de uma parábola que abre para a direita ou para a esquerda. A fórmula é:
(y - k)^2 = 4p(x - h)
Onde:
  • (h, k) é o vértice da parábola.
  • p é a distância entre o vértice e o foco. Se p for positivo, a parábola abre para a direita; se for negativo, para a esquerda.

Passo 4

Agora, vamos identificar os valores de h, k e p com base nas informações que temos:
  • Vértice (h, k) = (-1, 1)
  • Foco (2,1)
A distância p entre o vértice e o foco é dada pela diferença entre as coordenadas x dos dois pontos:
p = 2 - (-1) = 3
Como p é positivo, confirma que a parábola abre para a direita.

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula padrão:
(y - 1)^2 = 4 times 3 times (x - (-1))
Simplificando:
(y - 1)^2 = 12(x + 1)
Essa é a equação da parábola que estamos procurando.

Passo 6

Por último, vamos encontrar a equação da diretriz. A diretriz é uma reta perpendicular ao eixo de simetria da parábola e fica a uma distância p do vértice, mas na direção oposta ao foco.
Como p = 3 e a parábola abre para a direita, a diretriz está à esquerda do vértice. Então, a equação da diretriz é:
x = h - p = -1 - 3 = -4

Resposta

A equação da parábola é (y - 1)^2 = 12(x + 1), com vértice em (-1,1), foco em (2,1) e diretriz na reta x = -4.

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