Apresente a equação da cônica definida pelas condições dadas, marcando vértice(s) e foco(s), desenhando as assíntotas (hipérbole) e diretriz (parábola).
Parábola com foco
e vértice
.
Parábola com foco
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma parábola com foco no ponto
e vértice em
. Nosso objetivo é encontrar a equação dessa parábola e identificar seus elementos principais, como vértice, foco e diretriz.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a posição do foco em relação ao vértice. Observando os pontos dados, tanto o vértice
quanto o foco
estão na mesma altura vertical (mesmo valor de
). Isso significa que a parábola abre horizontalmente. Como o foco está à direita do vértice, a parábola abre para a direita.
Passo 3
Vamos lembrar da fórmula padrão da equação de uma parábola que abre para a direita ou para a esquerda. A fórmula é:
Onde:
-
é o vértice da parábola. -
é a distância entre o vértice e o foco. Se for positivo, a parábola abre para a direita; se for negativo, para a esquerda.
Passo 4
Agora, vamos identificar os valores de
,
e
com base nas informações que temos:
- Vértice
- Foco
A distância
entre o vértice e o foco é dada pela diferença entre as coordenadas
dos dois pontos:
Como
é positivo, confirma que a parábola abre para a direita.
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula padrão:
Simplificando:
Essa é a equação da parábola que estamos procurando.
Passo 6
Por último, vamos encontrar a equação da diretriz. A diretriz é uma reta perpendicular ao eixo de simetria da parábola e fica a uma distância
do vértice, mas na direção oposta ao foco.
Como
e a parábola abre para a direita, a diretriz está à esquerda do vértice. Então, a equação da diretriz é:
Resposta
A equação da parábola é
, com vértice em
, foco em
e diretriz na reta
.