Determine, em cada item abaixo, se o conjunto dado com as operações especificadas de adição e multiplicação por escalar é um espaço vetorial.
a) O conjunto dos números racionais com as operações usuais de adição e multiplicação.
a) O conjunto dos números racionais com as operações usuais de adição e multiplicação.
Passo 1
Então, a gente quer descobrir se o conjunto dos números racionais (
) com as operações de adição e multiplicação por escalar que conhecemos forma um espaço vetorial. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde estudamos espaços vetoriais e as propriedades que eles precisam ter. Para resolver isso, vamos precisar verificar se todas as regras que definem um espaço vetorial são verdadeiras para
com essas operações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto onde a gente pode somar dois vetores e multiplicar um vetor por um escalar, seguindo certas regras chamadas de axiomas. Essas regras garantem que as operações sejam bem comportadas e que o espaço tenha uma estrutura consistente.
Passo 3
Vamos verificar os axiomas principais de um espaço vetorial para
:
-
Fechamento sob adição: Se você somar dois números racionais, o resultado também é um número racional. Por exemplo,
, que é racional. Então, esse axioma é satisfeito. -
Existência do elemento neutro da adição: O número
é o elemento neutro, pois para qualquer . -
Existência do elemento inverso da adição: Para qualquer número racional
, existe um número que é seu inverso aditivo, já que . -
Comutatividade da adição: A ordem da soma não altera o resultado, ou seja,
para quaisquer . -
Associatividade da adição: A forma como agrupamos os termos não altera a soma, então
para quaisquer . -
Fechamento sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar um número racional por outro racional (o escalar), o resultado também é racional. Por exemplo,
, que é racional. -
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
para quaisquer e . -
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
para quaisquer e . -
Associatividade da multiplicação por escalar:
para quaisquer e . -
Existência do elemento neutro da multiplicação por escalar:
para qualquer , onde é o elemento neutro de para a multiplicação.
Passo 4
Depois de verificar todos esses axiomas, vemos que todos eles são satisfeitos no conjunto dos números racionais com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar. Isso significa que não há nenhuma regra violada.
Resposta
Sim, o conjunto dos números racionais com as operações usuais de adição e multiplicação forma um espaço vetorial.