Determine, em cada item abaixo, se o conjunto dado com as operações especificadas de adição e multiplicação por escalar é um espaço vetorial.
a) O conjunto dos números racionais com as operações usuais de adição e multiplicação.

Passo 1

Então, a gente quer descobrir se o conjunto dos números racionais ( ) com as operações de adição e multiplicação por escalar que conhecemos forma um espaço vetorial. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde estudamos espaços vetoriais e as propriedades que eles precisam ter. Para resolver isso, vamos precisar verificar se todas as regras que definem um espaço vetorial são verdadeiras para com essas operações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto onde a gente pode somar dois vetores e multiplicar um vetor por um escalar, seguindo certas regras chamadas de axiomas. Essas regras garantem que as operações sejam bem comportadas e que o espaço tenha uma estrutura consistente.

Passo 3

Vamos verificar os axiomas principais de um espaço vetorial para :
  1. Fechamento sob adição: Se você somar dois números racionais, o resultado também é um número racional. Por exemplo, , que é racional. Então, esse axioma é satisfeito.
  2. Existência do elemento neutro da adição: O número é o elemento neutro, pois para qualquer .
  3. Existência do elemento inverso da adição: Para qualquer número racional , existe um número que é seu inverso aditivo, já que .
  4. Comutatividade da adição: A ordem da soma não altera o resultado, ou seja, para quaisquer .
  5. Associatividade da adição: A forma como agrupamos os termos não altera a soma, então para quaisquer .
  6. Fechamento sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar um número racional por outro racional (o escalar), o resultado também é racional. Por exemplo, , que é racional.
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: para quaisquer e .
  8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: para quaisquer e .
  9. Associatividade da multiplicação por escalar: para quaisquer e .
  10. Existência do elemento neutro da multiplicação por escalar: para qualquer , onde é o elemento neutro de para a multiplicação.

Passo 4

Depois de verificar todos esses axiomas, vemos que todos eles são satisfeitos no conjunto dos números racionais com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar. Isso significa que não há nenhuma regra violada.

Resposta

Sim, o conjunto dos números racionais com as operações usuais de adição e multiplicação forma um espaço vetorial.

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