Apresente uma equação do plano tangente à superfície de nível da função pelo ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente à superfície de nível da função no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de plano tangente e derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um plano tangente a uma superfície de nível. Uma superfície de nível é onde a função é constante. O plano tangente nesse ponto é o plano que “encosta” na superfície exatamente nesse ponto. Para encontrar esse plano, precisamos do vetor gradiente da função no ponto , que será perpendicular ao plano tangente.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é dado pelas derivadas parciais de em relação a , e :

Passo 4

Calculando cada derivada parcial:
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :
Então, o gradiente é:

Passo 5

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto :
Esse vetor é normal ao plano tangente no ponto .

Passo 6

Com o vetor normal e o ponto , a equação do plano tangente pode ser escrita usando a fórmula:
Substituindo os valores:

Resposta

Simplificando a equação, temos:
Então, a equação do plano tangente é .

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