Apresente uma equação do plano tangente à superfície de nível da função
pelo ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente à superfície de nível da função
no ponto
. Para isso, vamos usar o conceito de plano tangente e derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um plano tangente a uma superfície de nível. Uma superfície de nível é onde a função
é constante. O plano tangente nesse ponto é o plano que “encosta” na superfície exatamente nesse ponto. Para encontrar esse plano, precisamos do vetor gradiente da função
no ponto
, que será perpendicular ao plano tangente.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente
é dado pelas derivadas parciais de
em relação a
,
e
:
Passo 4
Calculando cada derivada parcial:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
Então, o gradiente é:
Passo 5
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto
:
Esse vetor
é normal ao plano tangente no ponto
.
Passo 6
Com o vetor normal
e o ponto
, a equação do plano tangente pode ser escrita usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Resposta
Simplificando a equação, temos:
Então, a equação do plano tangente é
.
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Considere a função
e o ponto
.
Utilizando a aproximação linear local de em
, determine o valor aproximado de
.
Utilizando a aproximação linear local de
Mostre que
, onde
é a função do item (a), é contínua em
.