Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
107) integral x^2raiz(1-x^2)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve funções racionais e radicais. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição trigonométrica, que é muito útil quando temos expressões como dentro de uma raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a expressão dx = cos theta , dtheta . Uma boa escolha é usar a substituição trigonométrica 1 - x^2 = 1 - sin^2 theta = cos^2 theta . Com isso, temos:
E também:

Passo 3

Agora, substituímos integral sin^2 thetaraiz(cos^2 theta)^3 cdot cos theta , dtheta e raiz(cos^2 theta)^3 = cos^3 theta na integral original:
integral sin^2 thetacos^3 theta cdot cos theta , dtheta = integral sin^2 thetacos^2 theta , dtheta
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 4

Simplificamos a fração integral tan^2 theta , dtheta para integral (sec^2 theta - 1) , dtheta = integral sec^2 theta , dtheta - integral 1 , dtheta :
Sabemos que . Então, substituímos:

Passo 5

Agora, resolvemos as integrais separadamente:
integral sec^2 theta , dtheta = tan theta + C
integral 1 , dtheta = theta + C
Portanto:
tan theta - theta + C

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original theta = arcsin x . Lembrando que fizemos a substituição , temos:
E

Passo 7

Substituindo de volta, a solução da integral é:
xraiz1 - x^2 - arcsin x + C

Resposta

integral x^2raiz(1-x^2)^3 , dx = xraiz1 - x^2 - arcsin x + C

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