Mostre que
, onde
é a função do item (a), é contínua em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a função
, onde
é uma função dada no item (a), é contínua em
. Isso envolve o estudo de continuidade de funções, especialmente no ponto específico
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como ela se aplica a produtos de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Dizemos que uma função
é contínua em
se o limite de
quando
se aproxima de
é igual ao valor da função em
, ou seja:
Então, para mostrar que
é contínua em
, precisamos verificar se:
Passo 3
Vamos calcular
. Substituindo
na definição de
:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
:
Para resolver esse limite, vamos usar a propriedade dos limites que diz que o limite do produto é o produto dos limites, desde que ambos existam:
Passo 5
Sabemos que:
E, pelo enunciado,
é contínua em
, então:
Portanto:
Passo 6
Agora, comparamos o limite que calculamos com
:
Como o limite de
quando
se aproxima de
é igual ao valor de
, concluímos que
é contínua em
.
Resposta
Portanto, a função
é contínua em
.
Exercícios relacionados
Considere a função
e o ponto
.
Utilizando a aproximação linear local de em
, determine o valor aproximado de
.
Utilizando a aproximação linear local de
Apresente uma equação do plano tangente à superfície de nível da função
pelo ponto
.
Encontre e classifique todos os pontos críticos da função
.
Se uma função contínua de uma variável tem exatamente um extremo relativo em um intervalo, então esse extremo relativo é um extremo absoluto no intervalo. Este exercício mostra que esse resultado não se estende a funções de duas variáveis.
Use um recurso computacional para esboçar o gráfico .
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