Mostre que g(x) = x f(x), onde f é a função do item (a), é contínua em p = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a função , onde é uma função dada no item (a), é contínua em . Isso envolve o estudo de continuidade de funções, especialmente no ponto específico . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como ela se aplica a produtos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Dizemos que uma função é contínua em se o limite de quando se aproxima de é igual ao valor da função em , ou seja:
Então, para mostrar que é contínua em , precisamos verificar se:

Passo 3

Vamos calcular . Substituindo na definição de :
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de :
Para resolver esse limite, vamos usar a propriedade dos limites que diz que o limite do produto é o produto dos limites, desde que ambos existam:

Passo 5

Sabemos que:
E, pelo enunciado, é contínua em , então:
Portanto:

Passo 6

Agora, comparamos o limite que calculamos com :
Como o limite de quando se aproxima de é igual ao valor de , concluímos que é contínua em .

Resposta

Portanto, a função é contínua em .

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