Considere a função f(x, y) = x^2 * y - ln(5 * x - 3 * y) e o ponto P = (2, 3).
Utilizando a aproximação linear local de f em P, determine o valor aproximado de f(1,98 ; 3,01).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando aproximação linear. A gente tem a função e o ponto . A gente quer achar o valor aproximado de . Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , usar a fórmula da aproximação linear e substituir os valores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aproximação linear de uma função em torno de um ponto é dada por:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a :
Substituindo :

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Substituindo :

Passo 6

Agora que temos todos os componentes, vamos montar a fórmula da aproximação linear:
Substituindo os valores:

Passo 7

Vamos calcular cada parte:
Então:

Resposta

O valor aproximado de é 11,93.

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