Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
102) integral cos ^3 x d xsen^4 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Esse exercício está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente usando métodos de integração como substituição. Para resolver, vamos precisar manipular as potências de seno e cosseno e usar a substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral para facilitar a manipulação das potências de seno e cosseno. Podemos expressar integral cos^2 x cdot cos xsin^4 x , dx como . Então, a integral fica:

Passo 3

Sabemos que integral (1 - sin^2 x) cdot cos xsin^4 x , dx . Vamos substituir isso na integral:

Passo 4

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar integral 1 - u^2u^4 , du . Assim, a derivada de em relação a é . Isso significa que .
Substituindo na integral:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral dividindo cada termo pelo denominador:
integral ( 1u^4 - u^2u^4 ) , du = integral ( u^-4 - u^-2 ) , du

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo. A integral de integral u^-4 , du - integral u^-2 , du = u^-3-3 - u^-1-1 + C = -13u^3 + 1u + C é e a de é :

Passo 7

Agora, vamos substituir -13 sin^3 x + 1sin x + C de volta na expressão:
Podemos também escrever como se preferir.

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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