Apresente exemplos de:
(b) Uma série absolutamente convergente
(b) Uma série absolutamente convergente
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente apresentar exemplos de uma série absolutamente convergente. Isso entra no conteúdo de séries infinitas e convergência. Pra resolver, a gente vai precisar entender o que é convergência absoluta e como identificar uma série que atende a isso.
Passo 2
Primeiro, vamos esclarecer o que significa uma série absolutamente convergente. Uma série
é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos,
, também converge. Isso é importante porque séries absolutamente convergentes têm propriedades legais, como a possibilidade de rearranjar os termos sem mudar a soma.
Passo 3
Agora, vamos pensar em um exemplo simples. As séries p são um bom ponto de partida. Uma série p tem a forma
. Sabemos que uma série p converge se
. Além disso, como estamos lidando com termos positivos, a série dos valores absolutos é a própria série, então ela também converge. Portanto, uma série p com
é absolutamente convergente.
Passo 4
Vamos pegar um exemplo concreto:
. Aqui,
, que é maior que 1. Então, essa série converge. E como todos os termos são positivos, a série dos valores absolutos também converge. Portanto,
é uma série absolutamente convergente.
Passo 5
Outro exemplo pode ser uma série geométrica com razão
. A série geométrica é dada por
. Se
, a série converge, e novamente, como estamos lidando com valores absolutos iguais à própria série (se
for positivo), ela também converge. Então, uma série geométrica com
é absolutamente convergente.
Resposta
Um exemplo de série absolutamente convergente é
.