Apresente exemplos de:
(b) Uma série absolutamente convergente

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente apresentar exemplos de uma série absolutamente convergente. Isso entra no conteúdo de séries infinitas e convergência. Pra resolver, a gente vai precisar entender o que é convergência absoluta e como identificar uma série que atende a isso.

Passo 2

Primeiro, vamos esclarecer o que significa uma série absolutamente convergente. Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos, , também converge. Isso é importante porque séries absolutamente convergentes têm propriedades legais, como a possibilidade de rearranjar os termos sem mudar a soma.

Passo 3

Agora, vamos pensar em um exemplo simples. As séries p são um bom ponto de partida. Uma série p tem a forma . Sabemos que uma série p converge se . Além disso, como estamos lidando com termos positivos, a série dos valores absolutos é a própria série, então ela também converge. Portanto, uma série p com é absolutamente convergente.

Passo 4

Vamos pegar um exemplo concreto: . Aqui, , que é maior que 1. Então, essa série converge. E como todos os termos são positivos, a série dos valores absolutos também converge. Portanto, é uma série absolutamente convergente.

Passo 5

Outro exemplo pode ser uma série geométrica com razão . A série geométrica é dada por . Se , a série converge, e novamente, como estamos lidando com valores absolutos iguais à própria série (se for positivo), ela também converge. Então, uma série geométrica com é absolutamente convergente.

Resposta

Um exemplo de série absolutamente convergente é .

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