Avalie a série infinita:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa série infinita:
Aqui, estamos trabalhando com séries numéricas e vamos precisar usar frações parciais para simplificar os termos e encontrar a soma dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar os termos da série usando frações parciais. A expressão geral do termo é
. Podemos fatorar o denominador:
Então, temos:
Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais:
Passo 3
Vamos encontrar os valores de
e
. Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, vamos escolher valores de
que simplificam a equação.
- Se
:
- Se
:
Então, temos:
Passo 4
Agora, substituímos de volta na série original:
Vamos fatorar o
:
Ao escrever os primeiros termos:
Perceba que há um telescópio, onde vários termos se cancelam.
Passo 5
Após o cancelamento, sobra apenas o primeiro termo:
Resposta
A soma da série é
.