Avalie a série infinita:
© sumn=1^infty 14 n^2-1=11 cdot 3+13 cdot 5+15 cdot 7+17 cdot 9+ldots

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa série infinita:
sumn=1^infty 14 n^2-1 = 11 cdot 3 + 13 cdot 5 + 15 cdot 7 + 17 cdot 9 + ldots
Aqui, estamos trabalhando com séries numéricas e vamos precisar usar frações parciais para simplificar os termos e encontrar a soma dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar os termos da série usando frações parciais. A expressão geral do termo é 4n^2 - 1 = (2n - 1)(2n + 1) . Podemos fatorar o denominador:
14n^2 - 1 = 1(2n - 1)(2n + 1)
Então, temos:
1(2n - 1)(2n + 1) = A2n - 1 + B2n + 1
Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais:

Passo 3

Vamos encontrar os valores de 1 = A(2n + 1) + B(2n - 1) e 1 = A(2 cdot 12 + 1) + B(2 cdot 12 - 1) Rightarrow 1 = A(2) + B(0) Rightarrow A = 12 . Multiplicando ambos os lados por 1 = A(2 cdot -12 + 1) + B(2 cdot -12 - 1) Rightarrow 1 = A(0) + B(-2) Rightarrow B = -12 :
1(2n - 1)(2n + 1) = 1/22n - 1 - 1/22n + 1
Agora, vamos escolher valores de que simplificam a equação.
  • Se :
  • Se :
Então, temos:

Passo 4

Agora, substituímos de volta na série original:
sumn=1^infty ( 1/22n - 1 - 1/22n + 1 )
Vamos fatorar o 12 sumn=1^infty ( 12n - 1 - 12n + 1 ) :
12 ( (11 - 13) + (13 - 15) + (15 - 17) + ldots )
Ao escrever os primeiros termos:
Perceba que há um telescópio, onde vários termos se cancelam.

Passo 5

Após o cancelamento, sobra apenas o primeiro termo:
12 ( 11 ) = 12

Resposta

A soma da série é .

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