Decida se cada uma das seguintes séries infinitas converge ou diverge. Justifique suas afirmações.
© sumn=1^infty n(n+1)(n+2)^2

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos que analisar a série infinita e decidir se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, especificamente o Teste da Divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento do termo geral da série conforme fica bem grande, ou seja, tendendo ao infinito. O termo geral aqui é .

Passo 3

Vamos simplificar esse termo para entender o seu limite quando n(n+1)(n+2)^2 = n^2 + nn^2 + 4n + 4 = 1 + 1n1 + 4n + 4n^2 vai para o infinito. Dividimos o numerador e o denominador por :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite desse termo conforme limn to infty 1 + 1n1 + 4n + 4n^2 = 1 + 01 + 0 + 0 = 1 tende ao infinito:

Passo 5

Segundo o Teste da Divergência, se o limite do termo geral de uma série não for zero, a série diverge. No nosso caso, o limite é 1, que não é zero.

Resposta

A série diverge, pois o limite do termo geral é diferente de zero.

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