Determine a equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a superfície definida pela equação e um ponto específico . Nosso objetivo é encontrar a equação do plano tangente a essa superfície nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície de uma forma que fique mais fácil de trabalhar:
Isso mostra como depende de e .
Passo 3
Para encontrar o plano tangente, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e no ponto dado.
Vamos começar com a derivada parcial de em relação a :
Agora, substituímos e no ponto :
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Novamente, substituímos no ponto :
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, podemos usar a fórmula do plano tangente:
Substituindo os valores que temos:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto é: