Determine a equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado
z - 3 x^2 y = 0, P = (1, 1, 3)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a superfície definida pela equação e um ponto específico . Nosso objetivo é encontrar a equação do plano tangente a essa superfície nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície de uma forma que fique mais fácil de trabalhar:
Isso mostra como depende de e .

Passo 3

Para encontrar o plano tangente, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e no ponto dado.
Vamos começar com a derivada parcial de em relação a :
Agora, substituímos e no ponto :

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Novamente, substituímos no ponto :

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, podemos usar a fórmula do plano tangente:
Substituindo os valores que temos:

Passo 6

Vamos simplificar essa equação:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:

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