Decida se cada uma das seguintes séries infinitas converge ou diverge. Justifique suas afirmações.
(o)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente decidir se a série infinita
converge ou diverge. Isso está dentro do conteúdo de Séries Infinitas na matemática. Para resolver, vamos precisar entender de progressões geométricas e aplicar alguns testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para facilitar a análise. A gente tem:
Vamos reescrever o numerador e o denominador:
Substituindo de volta na expressão da série:
Então, a série fica:
Passo 3
Agora, observamos que essa é uma série geométrica, onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante
. No nosso caso, a razão é
.
Sabemos que uma série geométrica da forma
converge se
e diverge se
.
Passo 4
Vamos verificar o valor da razão
:
Como
, isso indica que a série geométrica converge.
Passo 5
Para confirmar, podemos calcular a soma da série a partir de
:
A soma de uma série geométrica infinita a partir de um índice específico é dada por:
Aplicando os valores:
Essa soma é um número finito, confirmando que a série converge.
Resposta
A série converge.