Decida se cada uma das seguintes séries infinitas converge ou diverge. Justifique suas afirmações.
(o) sumn=4^infty (-5)^1+2 n2^5 n-3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente decidir se a série infinita converge ou diverge. Isso está dentro do conteúdo de Séries Infinitas na matemática. Para resolver, vamos precisar entender de progressões geométricas e aplicar alguns testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para facilitar a análise. A gente tem:
(-5)^1+2n2^5n-3
Vamos reescrever o numerador e o denominador:
(-5)^1+2n = (-5) cdot (-5)^2n = -5 cdot (25)^n
2^5n-3 = 2^-3 cdot 2^5n = 18 cdot 32^n
Substituindo de volta na expressão da série:
-5 cdot 25^n18 cdot 32^n = -5 cdot 8 cdot (2532)^n = -40 cdot (2532)^n
Então, a série fica:
sumn=4^infty -40 cdot (2532)^n

Passo 3

Agora, observamos que essa é uma série geométrica, onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante . No nosso caso, a razão é .
Sabemos que uma série geométrica da forma converge se e diverge se .

Passo 4

Vamos verificar o valor da razão r = 2532 approx 0,78125 :
Como , isso indica que a série geométrica converge.

Passo 5

Para confirmar, podemos calcular a soma da série a partir de sumn=4^infty -40 cdot (2532)^n = -40 cdot sumn=4^infty (2532)^n :
S = ar^n cdot 11 - r
A soma de uma série geométrica infinita a partir de um índice específico é dada por:
S = -40 cdot (2532)^4 cdot 11 - 2532 = -40 cdot (2532)^4 cdot 327 = -40 cdot 25^432^3 cdot 7
Aplicando os valores:
Essa soma é um número finito, confirmando que a série converge.

Resposta

A série converge.

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