Apresente uma parametrização diferenciável para a curva C em R^3, interseção das superfícies dadas por:
z = 3*x^2 + y^2 e z + 6 x = 9

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar uma parametrização diferenciável para a curva em , que é a interseção de duas superfícies:
Matéria envolvida: Estamos lidando com equações de superfícies no espaço tridimensional e precisamos encontrar uma curva que satisfaz ambas as equações ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos precisar manipular as equações para expressar e em termos de um parâmetro, geralmente denotado por .

Passo 2

Vamos começar igualando as duas expressões para para encontrar uma relação entre e .
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:

Passo 3

Agora, vamos reorganizar a equação para deixar tudo igual a zero:
Essa é a equação de uma cônica no plano . Para facilitar a parametrização, vamos completar o quadrado em relação a .

Passo 4

Completemos o quadrado para os termos de :
Portanto:

Passo 5

Dividindo todos os termos por 12 para obter a forma padrão da equação da elipse:
Essa é a equação paramétrica de uma elipse centrada em no plano , com semi-eixos de comprimento 2 e .

Passo 6

Agora, podemos parametrizar e usando um ângulo paramétrico :

Passo 7

Com parametrizado, substituímos na equação de para encontrar :

Resposta

Uma parametrização diferenciável para a curva é dada por:
onde é o parâmetro real.

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