Apresente uma parametrização diferenciável para a curva em , interseção das superfícies dadas por: e
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar uma parametrização diferenciável para a curva em , que é a interseção de duas superfícies:
Matéria envolvida: Estamos lidando com equações de superfícies no espaço tridimensional e precisamos encontrar uma curva que satisfaz ambas as equações ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos precisar manipular as equações para expressar e em termos de um parâmetro, geralmente denotado por .
Passo 2
Vamos começar igualando as duas expressões para para encontrar uma relação entre e .
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Passo 3
Agora, vamos reorganizar a equação para deixar tudo igual a zero:
Essa é a equação de uma cônica no plano . Para facilitar a parametrização, vamos completar o quadrado em relação a .
Passo 4
Completemos o quadrado para os termos de :
Portanto:
Passo 5
Dividindo todos os termos por 12 para obter a forma padrão da equação da elipse:
Essa é a equação paramétrica de uma elipse centrada em no plano , com semi-eixos de comprimento 2 e .
Passo 6
Agora, podemos parametrizar e usando um ângulo paramétrico :
Passo 7
Com parametrizado, substituímos na equação de para encontrar :
Resposta
Uma parametrização diferenciável para a curva é dada por: