Calcule
, onde
e
é o segmento de reta de
a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é uma integral de linha, especificamente
, onde a função
é igual a
. A curva
é um segmento de reta que vai do ponto
até o ponto
. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar essa reta e calcular o diferencial de arco
. Vamos começar!
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a reta
. Isso significa que vamos expressar as coordenadas
e
em termos de um parâmetro, geralmente chamado de
. Como estamos lidando com uma reta, podemos usar uma parametrização linear. Se a reta vai de
a
, podemos escrever:
Aqui,
varia de
a
. Quando
, estamos no ponto
, e quando
, estamos no ponto
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o diferencial de arco
. Para isso, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
O diferencial de arco
é dado pela fórmula:
Substituindo as derivadas:
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores de
e
na função
:
Passo 5
Com tudo isso preparado, podemos montar a integral:
Fatorando o
:
Passo 6
Agora, vamos integrar cada termo dentro da integral:
Avaliado de
a
:
Passo 7
Finalmente, multiplicamos pelo
que foi fatorado antes:
Resposta
O valor da integral é
.