Calcule integralC f(x, y) d s, onde
f(x, y)=x y e C é o segmento de reta de (2,1) a (4,5).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é uma integral de linha, especificamente integralC f(x, y) ds, onde a função f(x, y) é igual a x y. A curva C é um segmento de reta que vai do ponto (2,1) até o ponto (4,5). Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar essa reta e calcular o diferencial de arco ds. Vamos começar!

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta C. Isso significa que vamos expressar as coordenadas x e y em termos de um parâmetro, geralmente chamado de t. Como estamos lidando com uma reta, podemos usar uma parametrização linear. Se a reta vai de (2,1) a (4,5), podemos escrever:
x(t) = 2 + 2t
y(t) = 1 + 4t
Aqui, t varia de 0 a 1. Quando t=0, estamos no ponto (2,1), e quando t=1, estamos no ponto (4,5).

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o diferencial de arco ds. Para isso, vamos calcular as derivadas de x(t) e y(t) em relação a t:
dxdt = 2
dydt = 4
O diferencial de arco ds é dado pela fórmula:
ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt
Substituindo as derivadas:
ds = raiz2^2 + 4^2 , dt = raiz4 + 16 , dt = raiz20 , dt = 2raiz5 , dt

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores de x(t) e y(t) na função f(x, y) = x y:
f(x(t), y(t)) = (2 + 2t)(1 + 4t) = 2(1 + 4t) + 2t(1 + 4t) = 2 + 8t + 2t + 8t^2 = 2 + 10t + 8t^2

Passo 5

Com tudo isso preparado, podemos montar a integral:
integralC f(x, y) ds = integral0^1 f(x(t), y(t)) cdot ds = integral0^1 (2 + 10t + 8t^2) cdot 2raiz5 , dt
Fatorando o 2raiz5:
2raiz5 integral0^1 (2 + 10t + 8t^2) , dt

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo dentro da integral:
integral (2 + 10t + 8t^2) , dt = 2t + 5t^2 + 83t^3
Avaliado de 0 a 1:
2(1) + 5(1)^2 + 83(1)^3 - [2(0) + 5(0)^2 + 83(0)^3] = 2 + 5 + 83 = 6 + 15 + 83 = 293

Passo 7

Finalmente, multiplicamos pelo 2raiz5 que foi fatorado antes:
2raiz5 cdot 293 = 58raiz53

Resposta

O valor da integral é dfrac58, raiz53.

Exercícios relacionados