Calcule , onde
e é o segmento de reta de a .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é uma integral de linha, especificamente , onde a função é igual a . A curva é um segmento de reta que vai do ponto até o ponto . Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar essa reta e calcular o diferencial de arco . Vamos começar!

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta . Isso significa que vamos expressar as coordenadas e em termos de um parâmetro, geralmente chamado de . Como estamos lidando com uma reta, podemos usar uma parametrização linear. Se a reta vai de a , podemos escrever:
Aqui, varia de a . Quando , estamos no ponto , e quando , estamos no ponto .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o diferencial de arco . Para isso, vamos calcular as derivadas de e em relação a :
O diferencial de arco é dado pela fórmula:
Substituindo as derivadas:

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores de e na função :

Passo 5

Com tudo isso preparado, podemos montar a integral:
Fatorando o :

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo dentro da integral:
Avaliado de a :

Passo 7

Finalmente, multiplicamos pelo que foi fatorado antes:

Resposta

O valor da integral é .

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Apresente uma parametrização diferenciável para a curva em , interseção das superfícies dadas por:
e
Esboce o gráfico da função dada e determine os pontos em que a função é contínua.
Fazer o indicado em cada item: (a) O valor do é:
i.
ii.
iii.
iv.
Apresente uma parametrização diferenciável para a curva em , interseção das superfícies dadas por:
e ,
situada no primeiro octante.